Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 53
10.53 Localize o centroide da área da seção transversal do canal, depois determine o momento de inércia da área em relação ao eixo centroidal .
Passo 1
Falaaa! O enunciado já deu o passo a passo da questão haha. A gente vai achar o centroide dessa seção em relação a e depois o momento de inércia em relação ao eixo horizontal que passa por esse cara.
Podemos ver nossa figura como composta por figuras mais simples, nesse caso a distância , do eixo até o centroide, é dada pela fórmula:
Vamos separar essa área em 3 retângulos e calcular a área e a coordenada do centroide de cada um em relação a :
Os centroides dos retângulos são no centro deles. A distância até o centroide do primeiro e do terceiro é , já do segundo é :
As áreas são iguais a:
Então seu centroide estará localizado em
Agora é só calcular o momento de inercia.
Passo 2
O centroide dos retângulos não coincide com o eixo que estamos usando para calcular o momento de inercia, então precisamos usar o teorema dos eixos paralelos. Ele tem essa cara:
Percebe que é adicionar esse termo a a fórmula que a gente já tinha para o retângulo. Aí é a área do retângulo
E é a distância do centroide de cada figura até o eixo onde a gente quer calcular o momento de inércia . Podemos escrever assim:
Esse é do centroide cada figura, e é do centroide da figura composta inteira. Não importa a ordem em que fazemos a substração, tá? Pode ser também.
Dito isto, vamos calcular o momento de inercia de cada retângulo e depois soma-los.
Passo 3
Pela tabela sabemos que o momento de inercia de um retângulo é igual a , onde é a dimensão do segmento paralelo a .
Podemos observar que como os retângulos 1 e 3 são iguais e seus centroides estão a uma mesma distância do eixo , por isso seus momentos de inercia serão iguais. Usando o teorema dos eixos paralelos vamos ter que
Nós já descobrimos o valor de :
Para 2 o processo é o mesmo:
Nós já descobrimos o valor de :
Somando os três momentos obtemos o total: