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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 59

Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação ao eixo x ' que passa pelo centroide C da seção transversal. y ¯ = 104,3   m m .

Passo 1

Fala pessoal! Vamos lá!

Seguinte para calcular o momento de inércia dessa figura, temos que ter em mente que temos 3 figuras: 2 círculos e um retângulo. Logo, aos termos 3 figuras e também um eixo paralelo x ' passando pelo centroide de da figura principal, utilizaremos o teorema dos eixos paralelos.

Para determinar o teorema dos eixos paralelos temos que satisfazer para cada figura a seguinte fórmula:

I f i g u r a = ∑ I x ' + A d y 2

Significa que iremos calcular o momento de inércia de cada figura, a sua área, determinar a distância d y de cada figura até o eixo x ' e por final executar o somatório.

Inicialmente temos esta situação:

Irei adicionando mais informações ao desenho assim que avançarmos nos passos.

Passo 2

Como dito anterior mente, vamos ter que calcular algumas coisas. Vamos começar com o cálculo das áreas:

Cálculo da área do primeiro círculo:

A 1 = π d 1 2 4

A 1 = π 35 2 4   [ m m 2 ]

Cálculo de área do retângulo:

A 2 = h ∙ t

A 2 = 150 ∙ 15 = 2250   m m 2

Cálculo de área do segundo círculo:

A 3 = π d 3 2 4

A 3 = π 50 2 4   m m 2

Passo 3

Após determinar a área de cada figura, vamos calcular o momento de inercia de cada uma delas em relação aos eixos x que passam pelos seus próprios centroides.

Calculando o momento de inércia do primeiro círculo, por definição o momento de inercia é o seguinte:

I 1 ¯ = π r 4 4

I 1 ¯ = π 35 2 4 4 = π 4 ∙ 17,5 4   m m 4

Calculando o momento de inerciado retângulo, por definição:

I 2 ¯ = 1 12 t h 3 = 1 12 ∙ 15 ∙ 150 3

Vemos que t é o valor da dimensão do retângulo que é paralela ao eixo x .

I 2 ¯ = 1,25 ∙ 150 3   m m 4

Calculando o momento de inércia do segundo círculo:

I 3 ¯ = π r 4 4

I 3 ¯ = π 4 ∙ 25 4   m m 4

Passo 4

Agora vamos para o momento chave da questão, determinar a distância d y do centro de cada figura até o eixo x ' , para isto, é muito bom determinar o eixo x como ponto z e r o e partir disto executar os raciocínios.

Primeiro vamos tratar do primeiro círculo:

Seguinte, temos a soma do raio 50   m m , h do retângulo 150   m m e o raio 35 2 resultando no comprimento do eixo x até o centro do nosso circulo 1.

Para termos a distância d 1 y será a diferença deste somatório com a distância do centroide da figura ao eixo x .

d 1 y = 150 + 50 + 35 2 - 104,3 = 113,2   m m

Para nosso retângulo:

Vamos encontrar o centro do nosso retângulo, que fica 150 2 . Vamos lembrar que estamos tratando o eixo x como ponto zero, logo vamos somar o diâmetro do círculo 3 e teremos o comprimento do eixo x até centro do retângulo:

Executando a diferença do comprimento 125 com o centroide temos d y 2 :

d y 2 = 125 - 104,3 = 20,7   m m

Para círculo 3, será a distância do centro do círculo até centroide:

Executando a diferença do raio com o centroide, temos:

d y 3 = 104,3 - 50 2 = 79,3   m m

Passo 5

Agora ficou simples, basta substituirmos todos os cálculos efetuados na seguinte fórmula para cada figura e executar o somatório:

I f i g u r a = ∑ I x ' + A d y 2

Para primeiro círculo:

= I ¯ 1 + A 1 d y 1 2

I 1 = π 4 ∙ 17,5 4 + π 35 2 4 ∙ 113,2 2 = 12402405,45 m m 4

Para o retângulo:

I 2 = I ¯ 2 + A 2 d y 2 2

I 2 = 1,25 ∙ 150 3 + 2250 ∙ 20,7 2 = 5182852.5   m m 4

Para segundo círculo:

I 3 = I ¯ 3 + A 3 d y 3 2

I 3 = π 4 ∙ 25 4 + π 50 2 4 ∙ 79,3 2 = 12654217 , 4   m m 3

Somando os três, teremos nosso resultado final:

I f i g u r a = ∑ I x ' + A d y 2

I f i g u r a = I 1 + I 2 + I 3

I f i g u r a ≅ 30,2 ∙ 10 6   m m 4

Resposta

I f i g u r a ≅ 30,2 ∙ 10 6   m m 4

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