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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 10ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 10º - Capítulo 2.9 - Ex. 111

111.Determine o ângulo theta entre os dois vetores.

Passo 1

Para determinar esse ângulo podemos usar a seguinte equação que está presente no livro na página 58 que fornece o ângulo entre dois vetores.

theta = arccos ((vec A * vec B)/(A B))

Então para usarmos essa fórmula no nosso caso, precisamos achar vec r_1 e vec r_2 e seus módulos.

E poderemos achar os vetores pelos ângulos que temos na figura, basta multiplicar o módulo de r_1 e r_2 por cosseno ou seno do ângulo entre o vetor e os eixos coordenados.

Passo 2

Vamos lá então:

Começando com vec r_1 :

vec r_1 = 9 sin 40 ° (cos 30 °) i - 9 sin 40 ° (s in 30 °) j + 9 cos 40 ° k

= 5,01 i - 2,89 j + 6,89 k

Agora para vec r_2 :

vec r_2 = 6 cos 60 ° i + 6 cos 45 ° j + 6 cos 120 ° k

= 3 i + 4,24 j - 3 k

Passo 3

Agora vamos calcular os módulos dos vetores encontrados.

|vec r_1| = sqrt(25,1 + 8,352 + 47,47)

= sqrt(80,922) = 8,995

|vec r_2| = sqrt(9 + 17,977 + 9)

= sqrt(35,977) = 5,998

Passo 4

Agora que temos que precisamos, basta usar a fórmula mencionada no passo 1 .

theta = arccos ((( 5,01 i - 2,89 j + 6,89 k ) * ( 3 i + 4,24 j - 3 k ))/(8,995 * 5,998))

= arccos ((15,03 - 12,253 - 20,67)/(53,95))

= arccos ((- 1 7,893)/(5 3,95))

= arccos (- 0 , 331)

Então:

=> theta = 1 09,32 °

Resposta

theta = 109,32 °

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