Enunciado

117.Determine os componentes de F → que atuam ao longo da haste A C e perpendicularmente a ela. O ponto B está localizado no ponto médio da haste.

Passo 1

Para fazermos o que o enunciado pede, precisamos botar a força fornecida na forma vetorial, mas para isso precisamos achar o vetor unitário na mesma direção da força u B D → , mas ainda sim temos que saber o vetor B D → para acharmos o vetor unitário.

Para sabermos quem é B D → podemos olhar para figura e notar o seguinte:

A D → = A B → + B D →

⇒ B D → = A D → - A B →

Achar A D → é fácil já que temos suas coordenadas, agora A B → precisamos nos tocar que B é ponto médio de A C , logo A B → = A C → 2 .

Tendo feito tudo isso e achando a força na forma vetorial basta fazer a projeção dela sobre A C → que iremos encontrar a componente ao longo da haste.

E depois, tendo a componente paralela a barra vamos usar o tio Pitágoras para achar a componente perpendicular a barra, da seguinte maneira:

F ⊥ 2 + F A C 2 = F 2

Passo 2

Então para começar tudo, temos que achar A C → e depois dividir por 2 para termos A B → .

Para achar A C → é fácil já que temos as coordenadas de A e C , que são:

A = 0 i + 0 j + 4 k

C = - 3 i + 4 j + 0 k

Então:

A C → = - 3 i + 4 j - 4 k

Então como foi dito antes:

A B → = A C → 2 = - 1,5 i + 2 j - 2 k

Passo 3

Agora vamos achar A D → , como temos as coordenadas de A e D fica fácil.

A = 0 i + 0 j + 4 k

D = 4 i + 6 j + 0 k

Logo:

  A D → = 4 i + 6 j - 4 k

Passo 4

Agora temos tudo que precisamos para achar B D → , então:

B D → = A D → - A B →

= 4 i + 6 j - 4 k - - 1,5 i + 2 j - 2 k

= 5,5 i + 4 j - 2 k

Passo 5

Agora vamos achar o vetor unitário que tem a mesma direção e sentido que B D → , vamos lá então:

u B D → = B D → B D →

= 5,5 i + 4 j - 2 k 30,25 + 16 + 4

= 5,5 i + 4 j - 2 k 50,25

= 5,5 i + 4 j - 2 k 7,088

Então temos que:

u B D → = 0,775 i + 0,564 j - 0,282 k

Logo nossa força na forma vetorial é:

F → = 600 u B D →

= 600 0,775 i + 0,564 j - 0,282 k

= 465 i + 338,4 j - 169,2 k

Passo 6

Agora que temos a força na forma vetorial, vamos fazer a projeção dela sobre A C , para encontrar a primeira coisa que o enunciado pede.

E vamos fazer isso através da fórmula:

P r o j   A → = A → ⋅ B → B →

Para o nosso caso, teremos:

F A C = P r o j   F → = F → ⋅ A C → A C →

= 465 i + 338,4 j - 169,2 k ⋅ - 3 i + 4 j - 4 k 9 + 16 + 16

= - 1395 + 1353 + 676,8 6,403

= 99,14

Esse resultado então é a intensidade de F A C .

Passo 7

Agora vamos achar a componente perpendicular da forma que foi dita no passo 1 , logo:

F ⊥ 2 + F A C 2 = F 2

⇒ F ⊥ 2 = F 2 - F A C 2

= ( 600 2 - 99,14 2 )

= 360000 - 9828,73

= 591,75

Resposta

F A C = 99,14

F ⊥ = 591,75

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