118. Determine os componentes de F → que atuam ao longo da haste A C e perpendicularmente a ela. O ponto B está localizado sobre a haste a 3   m da extremidade C .

Passo 1

Para fazermos o que o enunciado pede, precisamos botar a força fornecida na forma vetorial, mas para isso precisamos achar o vetor unitário na mesma direção da força u B D → , mas ainda sim temos que saber o vetor B D → para acharmos o vetor unitário.

Para sabermos quem é B D → podemos olhar para figura e notar o seguinte:

B D → = C D → + B C →

Achar C D → é fácil já que temos suas coordenadas, agora B C → precisamos nos tocar que a distância entre B e C é de 3   m , logo se dividirmos isso pelo comprimento total da barra e multiplicarmos por A C → iremos obter B C → .

O comprimento total da barra pode ser encontrado através da norma de   A C →

Tendo feito tudo isso e achando a força na forma vetorial basta fazer a projeção dela sobre A C → que iremos encontrar a componente ao longo da haste.

E depois, tendo a componente paralela a barra vamos usar o tio Pitágoras para achar a componente perpendicular a barra, da seguinte maneira:

F ⊥ 2 + F A C 2 = F 2

Passo 2

Então para começar tudo, temos que achar A C → , depois calcular sua norma e aí sim fazer o que foi dito no passo 1 .

Para achar A C → é fácil já que temos as coordenadas de A e C , que são:

A = 0 i + 0 j + 4 k

C = - 3 i + 4 j + 0 k

Então:

A C → = - 3 i + 4 j - 4 k

Calculando a norma desse vetor:

A C → = 9 + 16 + 16

= 41 = 6,403

Então pelo que foi dito no passo 1 :

B C → = 3 6,403 A C →

= 3 6,403 - 3 i + 4 j - 4 k

= - 1,405 i + 1,874 j - 1,874 k

Passo 3

Agora vamos achar C D → , como temos as coordenadas de C e D fica fácil.

C = - 3 i + 4 j + 0 k

D = 4 i + 6 j + 0 k

Logo:

C D → = 7 i + 2 j + 0 k

Passo 4

Agora temos tudo que precisamos para achar B D → , então:

B D → = C D → + B C →

= 7 i + 2 j + 0 k + - 1,405 i + 1,874 j - 1,874 k

= 5,595 i + 3,874 j - 1,874 k

Passo 5

Agora vamos achar o vetor unitário que tem a mesma direção e sentido que B D → , vamos lá então:

u B D → = B D → B D →

= 5,5 95 i + 3,874 j - 1,874 k 3 1,30 + 1 5 + 3,51

= 5,595 i + 3,874 j - 1,874 k 49,81

= 5,595 i + 3,874 j - 1,874 k 7,0 57

Então temos que:

u B D → = 0,7 92 i + 0,5 48 j - 0,2 65 k

Logo nossa força na forma vetorial é:

F → = 600 u B D →

= 600 0,792 i + 0,548 j - 0,265 k

= 4 75,2 i + 3 2 8 , 8 j - 1 5 9 k

Passo 6

Agora que temos a força na forma vetorial, vamos fazer a projeção dela sobre A C , para encontrar a primeira coisa que o enunciado pede.

E vamos fazer isso através da fórmula:

P r o j   A → = A → ⋅ B → B →

Para o nosso caso, teremos:

F A C = P r o j   F → = F → ⋅ A C → A C →

= 475,2 i + 328,8 j - 159 k ⋅ - 3 i + 4 j - 4 k 9 + 16 + 16

= - 1 425,6 + 13 15,2 + 6 36 6,403

= 82,08

Esse resultado então é a intensidade de F A C .

Passo 7

Agora vamos achar a componente perpendicular da forma que foi dita no passo 1 , logo:

F ⊥ 2 + F A C 2 = F 2

⇒ F ⊥ 2 = F 2 - F A C 2

= ( 600 2 - 82,08 2 )

= 360000 - 6737,12

= 59 4 , 3 5

Resposta

F A C = 82 , 08   N

F ⊥ = 594,35   N

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