129- O mecanismo consiste em engrenagens acopladas A e B idênticas e em braços que são fixados as engrenagens. A mola encaixada nas extremidades dos braços tem comprimento em repouso de 100   m m e sua rigidez é k = 250   N / m . Se um torque M = 6   N m é aplicado na engrenagem A , determine o ângulo θ pelo qual o braço gira. As engrenagens são todas conectadas por pinos em suportes fixos em seus centros.

Passo 1

Para a engrenagem A a medida que a engrenagem faz puxar a mola produzindo uma força de reação indo da esquerda para a direita, além de uma força de reação da engrenagem B que vai de baixo para cima , produzindo o seguinte digrama de forças.

Considerando o sentido horário como positivo temos a seguinte somatória dos momentos em A .

- 6 + F e l × 150 cos ⁡ θ + F N × 50 = 0

150 F e l cos ⁡ θ + 50 F N = 6

Onde F N é a força normal entre as engrenagens e F e l a força elástica.

Passo 2

Agora vamos para a engrenagem B onde as forças F e l e P por ação e reação estarão no sentido contrário. De forma que temos o seguinte diagrama de forças abaixo.

Fazendo a somatória dos momentos em B temos:

F N × 50 - F e l × 150 cos ⁡ θ = 0

F N = 3 F e l cos ⁡ θ

Passo 3

Substituindo o valor de F N encontrado no passo 2 na equação do passo 1 teremos:

150 F e l cos ⁡ θ + 50 × 3 F e l cos ⁡ θ = 6 000

300 F e l cos ⁡ θ = 6 000

F e l cos ⁡ θ = 20

Passando o momento para N .   m m

O que nos obriga a calcular o valor da força elástica F e l , como o seu comprimento inicial é de 100   m m logo o comprimento final da mola em função de θ é dada por:

O comprimento final da mola será igual a:

Δ x = 300 sin ⁡ θ

Logo a força elástica da mola será calculada por:

F e l = k   Δ x = 0 . 250 N m m × 300 sin ⁡ θ = 75 sin ⁡ θ

Não considera o comprimento inicial de 100   m m pois o comprimento final já inclui esse comprimento inicial, podendo-se considerar a mola como comprimento inicial igual a zero.

Substituindo na fórmula do passo 1 .

75 sin ⁡ θ cos ⁡ θ = 20

3 sin ⁡ θ cos ⁡ θ = 0.8

1.5 sin ⁡ 2 θ = 0.8

sin ⁡ 2 θ = 0.533

θ = 16.11 °

Resposta

θ = 16.11 °

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