Enunciado

132. Determine os ângulos θ e ϕ entre os eixos O A do poste da bandeira e A B e A C de cada cabo, respectivamente.

Passo 1

Para determinar esses ângulos podemos usar a seguinte equação que está presente no livro na página 58 que fornece o ângulo entre dois vetores.

θ = arccos ⁡ A → ⋅ B → A B

Usaremos essa fórmula tanto para F B , quanto para F C , mas antes precisamos botar essas forças na forma vetorial, vamos fazer isso obtendo um vetor unitário na direção de F B e um na direção de F C e depois multiplicando as intensidades de cada força por seu respectivo vetor unitário.

Para achar os vetores unitários, basta lembrar que eles são definidos como:

u → = r → r →

Para usar essa fórmula do ângulo, também precisamos achar o vetor O A → que o que estamos avaliando o ângulo com as forças.

Mas esse vetor é fácil de se obter já que O é a origem, então:

A O → = 0 i - 4 j - 3 k

E seu módulo é dado por:

A O → = 16 + 9

= 25 = 5

Passo 2

Primeiro vamos encontrar o vetor unitário na direção de F B e depois por essa força na forma vetorial, vamos lá então:

u A B → = A B → A B →

= 1,5 i - 4 j + 3 k 2,25 + 16 + 9

= 1,5 i - 4 j + 3 k 5,22

Logo:

u A B → = 0,287 i - 0,766 j + 0,574 k

Logo nossa força na forma vetorial é dada por:

F B → = 55 0,287 i - 0,766 j + 0,574 k

= 15,78 i - 42,13 j + 31,57 k

Seu módulo é dado, por:

F B → = 249 + 1774,93 + 996,66

= 3020,59

= 54,95

Passo 3

Agora vamos encontrar o vetor unitário na direção de F C e depois por essa força na forma vetorial, vamos lá então:

u A C → = A C → A C →

= - 2 i - 4 j + 1 k 4 + 16 + 1

= - 2 i - 4 j + 1 k 4,58

Logo:

u A C → = - 0 , 436 i - 0 , 873 j + 0,218 k

Logo nossa força na forma vetorial é dada por:

F C → = 55 - 0,436 i - 0,873 j + 0,218 k

= - 23,98 i - 4 8 , 01 j + 1 1 , 99 k

Seu módulo é dado, por:

F C → = 575,04 + 2304,96 + 143,76

= 302 3 , 76

= 54,9 8

Passo 4

Agora vamos usar a fórmula do passo 1 para achar θ .

θ = arccos ⁡ F B → ⋅ A O → F B * A O

= arccos ⁡ ( 15,78 i - 42,13 j + 31,57 k ) ⋅ ( 0 i - 4 j - 3 k ) 54,95 * 5

= arccos ⁡ 168,52 - 94,71 274,75

= arccos ⁡ 0,268

Temos então que:

⇒ θ = 74,45 °

Passo 5

Agora vamos usar a fórmula do passo 1 para achar ϕ .

ϕ = arccos ⁡ F C → ⋅ A O → F C * A O

= arccos ⁡ ( - 23,98 i - 48,01 j + 11,99 k ) ⋅ ( 0 i - 4 j - 3 k ) 54,9 8 * 5

= arccos ⁡ 1 92,04 - 35,97 274 , 9

= arccos ⁡ 0 , 567

Temos então que:

⇒ ϕ = 55 , 45 °

Resposta

θ = 74,45 °

ϕ = 55,45 °

Ver Outros Exercícios desse livro