Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 133
133. O componente de alumínio de uma máquina tem um furo de seção quadrada centrado ao longo de seu comprimento. Determine o valor de para que o momento de inércia do componente em relação ao eixo , que intercepta a superfície superior do furo, seja máximo, os valores correspondentes do momento de inércia de massa e do raio de giração em relação ao eixo . (O peso específico do alumínio é )
Passo 1
Para determinar o momento de inércia desse componente em relação ao eixo vamos fazer o seguinte, vamos separar nosso componente em duas partes.
A parte é a peça sólida em si e a parte seria uma peça igual a do furo que temos no componente, então teríamos que o momento e inércia total é:
Só que para calcular os momentos de inercia da parte e teremos que usar o teorema dos eixos paralelos já que o cálculo é em relação ao eixo e só sabemos com facilidade o momento de inércia dessas peças quando é em relação aos eixos coordenados que é fornecido pela figura do livro.
O teorema dos eixos paralelos é seguinte:
Onde é o momento que já conhecemos, é massa do objeto que estamos calculando e é a distância entre os dois eixos paralelos, vamos considerar o outro eixo sendo o que passa simetricamente pelo meio da componente.
Segundo a figura o momento de inercia para essas peças em relação ao eixo de simetria mencionado acima é dado por:
Então vamos precisar da massa de cada peça, mas a massa de um objeto é dada por:
Onde é a massa específica do material e o volume do objeto.
O enunciado também quer o momento inércia do raio, que é dado por:
Onde é massa total do componente, então para calcular esse momento teremos que saber o momento de inércia de massa primeiro.
O enunciado nos fornece o peso específico do alumínio, mas queremos a massa, então temos que lembrar que peso é:
Então:
Logo:
Passo 2
Vamos calcular as massas para os nossos objetos.
E
Vamos deixar e sem substituir os valores, para gente não ter de ficar carregando um monte de número chato e facilitar nossa vida nas contas.
Passo 3
Agora vamos calcular o momento de inercia total, temos:
Substituindo e , temos:
Pronto, temos o momento de inércia em relação , mas não é só isso que o enunciado quer, vamos continuar a pensar no próximo passo.
Passo 4
No item o enunciado quer o valor de que faz o momento ser máximo, para isso vamos usar propriedades da derivada ao nosso favor.
O que achamos no passo é bem dizer uma função que depende de , então se derivarmos essa função e igualarmos a zero, iremos encontrar pontos críticos, depois só derivar a função mais uma vez e analisar o valor dela em relação a esses ponto e ver se é negativa (temos ponto de máximo) ou positiva (ponto de mínimo).
Vamos lá.
Para isso ser verdade é preciso que:
Disso concluímos que:
Ou
Agora vamos derivar mais uma vez e analisar se a função é negativa ou positiva com esses valores de .
Então para , temos:
E para , temos:
Logo o que faz ser máximo é:
Sabendo que .
Passo 5
No item , o enunciado quer o valor do momento de inércia de massa e de raio para esse valor de , vamos lá então, temos que:
Substituindo , e , temos:
Agora o momento de inércia é dado por:
Onde
Então, temos que:
Lembrando que .