Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 134
134. As conchas e os braços de um anemômetro são fabricados de um material de massa específica . Sabendo que o momento de inércia de uma casca hemisférica de massa e espessura em relação ao seu eixo centroidal é , determine o momento de inércia do anemômetro em relação ao eixo , a razão para que o momento de inércia centroidal das conchas seja igual a do momento de inércia das conchas em relação ao eixo .
Passo 1
Para determinar o momento de inércia desse anemômetro em relação ao eixo vamos fazer o seguinte, vamos separar nosso componente em duas partes.
A parte são as conchas e a parte serão os braços, então teríamos que o momento e inércia total é:
Só que para calcular os momentos de inercia da parte e teremos que usar o teorema dos eixos paralelos já que o cálculo é em relação ao eixo e só sabemos com facilidade o momento de inércia da parte em relação a e dos braços quando é em relação aos eixos coordenados que é fornecido pela figura do livro.
O teorema dos eixos paralelos é seguinte:
Onde é o momento que já conhecemos, é massa do objeto que estamos calculando e é a distância entre os dois eixos paralelos, vamos considerar para os braços o outro eixo sendo paralelo a e que passa no meio do braço.
Segundo a figura o momento de inercia para os braços em relação ao eixo mencionado acima é dado por:
O momento da concha é dado pelo enunciado como:
Então vamos precisar da massa de cada peça, mas a massa de um objeto é dada por:
Onde é a massa específica do material e o volume do objeto.
Para achar a massa do braço poderemos usar a fórmula acima pois ele tem uma geometria simples, mas para a concha teremos que fazer por integral.
Onde temos que:
Onde é o volume de uma pequena faixa da concha e é o elemento de volume, então temos que:
A integral vai de a pois só temos metade da concha.
Temos que:
Agora para a massa do braço temos:
Passo 2
Agora vamos calcular o momento de inercia total, temos:
Substituindo o as massas, ficamos com:
Passo 3
Agora temos que achar o que o enunciado pede no item . Para ficar de forma bem clara, o enunciado quer saber o valor de para que isso aqui seja verdadeiro:
Vamos mexer nisso e ver o que encontramos.
Como já sabemos os valores desses momentos, é só substituir.
Vamos fazer o seguinte agora, vamos dividir os dois lados por e depois chamar a razão , então:
Fazendo a substituição mencionada acima, temos:
Assim, ficamos com:
Passo 4
Do último passo achamos a seguinte equação de segundo grau:
E sabemos muito bem como resolver uma equação de segundo grau, a fórmula mais conhecida impossível.
Então temos que:
Ou
Mas como representa a razão de dois números positivos, logo: