Enunciado

134. Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados de F 3 → , de modo que a resultante das três forças seja nula.

Passo 1

Uma coisa que é superimportante nesse enunciado e que vai nos ajudar muito é que ele quer que a força resultante seja zero, logo a força resultante nas três direções é zero, então podemos tirar a seguinte relação disso:

F R x = 0 = ∑ F x

Essa primeira equação diz que a soma das componentes em x das três forças é zero.

F R y = 0 = ∑ F y

Essa segunda equação diz que a soma das componentes em y das três forças é zero.

F R z = 0 = ∑ F z

Essa terceira equação diz que a soma das componentes em z das três forças é zero.

Resolvendo esse sistema de equações iremos encontrar o que queremos.

Mais uma equação que vai nos ajudar e tem a ver com os ângulos diretores é:

cos 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ β + cos 2 ⁡ γ = 1

Passo 2

Agora vamos abrir as equações para podermos visualizar melhor, vamos começar com a primeira.

F R x = 0 = ∑ F x

⇒ 0 = - F 1 + F 2 cos ⁡ 30 ° sin ⁡ 40 ° + F 3 cos ⁡ α

⇒ - 180 + 300 cos ⁡ 30 ° sin ⁡ 40 ° + F 3 cos ⁡ α = 0

⇒ F 3 cos ⁡ α - 180 + 167 = 0

⇒ F 3 cos ⁡ α = 13

Agora vamos abrir a segunda equação:

F R y = 600 = ∑ F y

⇒ 0 = F 2 cos ⁡ 30 ° cos ⁡ 40 ° + F 3 cos ⁡ β

⇒ 300 cos ⁡ 30 ° cos ⁡ 40 ° + F 3 cos ⁡ β = 0

⇒ F 3 cos ⁡ β + 199,02 = 0

⇒ F 3 cos ⁡ β = - 199,02

Agora vamos abrir a terceira equação:

F R z = 0 = ∑ F z

⇒ 0 = - 300 sin ⁡ 30 ° + F 3 cos ⁡ γ

⇒ F 3 cos ⁡ γ = 300 sin ⁡ 30 °

⇒ F 3 cos ⁡ γ = 150

Passo 3

Do passo 2 , obtemos as seguintes equações:

F 3 cos ⁡ α = 13

F 3 cos ⁡ β = - 199,02

F 3 cos ⁡ γ = 150

Tá, mas o que fazemos com isso agora? Aí vem a importância da última equação do passo 1 .

Vamos pegar cada equação que obtivemos e elevar ao quadrado, então:

F 3 2 cos 2 ⁡ α = 169

F 3 2 cos 2 ⁡ β = 39608,96

F 3 2 cos 2 ⁡ γ = 22500

Agora vamos somar essas três equações:

F 3 2 cos 2 ⁡ α + F 3 2 cos 2 ⁡ β + F 3 2 cos 2 ⁡ γ = 62277,96

Agora, a mágica da última equação que avia comentado:

F 3 2 cos 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ β + cos 2 ⁡ γ = 62277,96

⇒ F 3 2 = 62277,96

F 3 = 249,55   l b

Passo 4

Agora que temos F 3 podemos achar os ângulos, através das equações que temos, então:

Primeiro para α :

F 3 2 cos 2 ⁡ α = 169

⇒ 62275,20 cos 2 ⁡ α = 169

⇒ cos 2 ⁡ α = 0,0027

⇒ cos ⁡ α = 0,051

⇒ α = 87,07 °

Agora para β :

F 3 2 cos 2 ⁡ β = 39608,96

⇒ 62275,20 cos 2 ⁡ β = 39608,96

⇒ cos 2 ⁡ β = 0,636

⇒ cos ⁡ β = 0,797

⇒ β = 37,15 °

E por último e até que enfim, para γ :

F 3 2 cos 2 ⁡ γ = 22500

⇒ 62275,20 cos 2 ⁡ γ = 22500

⇒ cos 2 ⁡ γ = 0,361

⇒ cos ⁡ γ = 0,6

⇒ γ = 53,13 °

Resposta

F 3 = 249,55   l b

α = 87,07 °

β = 37,15 °

γ = 53,13 °

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