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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 10ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 10º - Capítulo 2.Revisão - Ex. 138

138. Determine os ângulos θ e ϕ entre os segmentos do arame.

Passo 1

Para determinar esses ângulos podemos usar a seguinte equação que está presente no livro na página 58 que fornece o ângulo entre dois vetores.

θ = arccos ⁡ A → ⋅ B → A B

Essa equação fornece o ângulo entre dois vetores, então podemos determinar θ se considerarmos ele como o ângulo entre B A → e B C → e determina ϕ se considerarmos ele como o ângulo entre C B → e C D → .

Então só temos que achar esses vetores agora, só que isso vai ser molezinha já que temos as coordenadas dos pontos A ,   B ,   C e D , fornecidos na figura.

Passo 2

Primeiro vamos determinar todos os vetores que queremos.

Abaixo temos todos os pontos que temos e suas coordenadas.

A = 0 i + 0 j + 0 k

B = 0 i + 0,4 j + 0,5 k

C = 0,8 i + 0,6 j + 0 k

D = 0 i + 0,6 j + 0 k

Então temos que:

B A → = 0 i - 0,4 j - 0,5 k

B C → = 0,8 i + 0,2 J - 0,5 k

C B → = - 0,8 i - 0,2 j + 0,5 k

C D → = - 0,8 i + 0 j + 0 k

Passo 3

Já temos os vetores que precisamos, agora teremos que calcular o módulo desses vetores.

B A → = 0,16 + 0,25

= 0,41 = 0,64

B C → = 0,64 + 0,04 + 0,25

= 0,93 = 0,964

C B → = 0,64 + 0,04 + 0,25

= 0,93 = 0,964

C D → = 0,64

= 0,8

Pronto, finalmente temos tudo do que precisamos para calcular os ângulos.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular θ :

θ = arccos ⁡ B A → ⋅ B C → B A * B C

= arccos ⁡ ( 0 i - 0,4 j - 0,5 k ) ⋅ ( 0,8 i + 0,2 J - 0,5 k ) 0,64 * 0,964

= arccos ⁡ 0 - 0,08 + 0,25 0,616

= arccos ⁡ 0,17 0,616

= arccos ⁡ 0,275

Logo:

θ = 74,03 °

Passo 5

Agora vamos calcular ϕ :

ϕ = arccos ⁡ C B → ⋅ C D → C B * C D

= arccos ⁡ ( - 0,8 i - 0,2 j + 0,5 k ) ⋅ ( - 0,8 i + 0 j + 0 k ) 0,964 * 0,8

= arccos ⁡ 0 , 64 0 , 771

= arccos ⁡ 0 , 83

Logo:

ϕ = 3 3,9 °

Resposta

θ = 74,03 °

ϕ = 33,9 °

Ver Outros Exercícios desse livro