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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 10ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 10º - Capítulo 4.6 - Ex. 94

As rodas dentadas estão sujeitas aos momentos de binário mostrados na figura. Determine a intensidade do momento de binário resultante e especifique seus ângulos diretores coordenados.

Passo 1

Vamos começar escrevendo cada um dos momentos em forma vetorial, começando por M 1 :

M → 1 = 50   k ^   N ∙ m

Para a componente z de M → 2 , o cálculo é imediato:

M → ∙ k ^ = 20 sen ⁡ 20 ° = 6,84   N ∙ m

E para cada uma das componentes x e y precisamos fazer duas projeções consecutivas:

M → = 20 cos ⁡ 20 ° - sen ⁡ 30 °   i ^ - cos ⁡ 30 °   j ^ + 6,84   k ^

M → = - 9,40   i ^ - 16,3   j ^ + 6,84   k ^   N ∙ m

E então o momento resultante é:

M → = M → 1 + M → 2

M → = 50   k ^ + - 9,40   i ^ - 16,3   j ^ + 6,84   k ^

M → = - 9,40   i ^ - 16,3   j ^ + 56,84   k ^   N ∙ m

Passo 2

Agora vamos calcular a intensidade desse vetor:

M = 9,40 2 + 16,3 2 + 56,84 2 = 59,9   N ∙ m

E para encontrar o ângulo θ que o vetor forma com um eixo i qualquer, só precisamos usar a seguinte fórmula:

cos ⁡ ( θ ) = M i M

Fazendo isso para cada um dos eixos, temos os seguintes resultados:

α = arccos ⁡ M x M = arccos ⁡ 9,40 59,9   = 99,0 °

β = arccos ⁡ M y M = arccos ⁡ 16,30 59,9   = 106 °

γ = arccos ⁡ M z M = arccos ⁡ 56,84 59,9   = 18,3 °

Onde α , β e γ são os ângulos formados pelo vetor com os eixos x , y e z , respectivamente.

Resposta

O momento de binário resultante tem intensidade M = 59,9   N ∙ m   , e os ângulos diretores são α = 99 ° , β = 1 06 ° e γ = 18,3 ° ( x , y e z , respectivamente).

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