Enunciado

18- Duas forças são aplicadas na extremidade de um olhal a fim de remover a estaca. Determine o ângulo θ ( 0 ° ≤ θ ≤ 90 ° ) e a intensidade da força F , de modo que a força resultante que atua sobre a estaca seja orientada verticalmente para cima e tenha intensidade de 750   N .

Passo 1

Fala meus futuros da nação! Vamos resolver mais uma questão desse livro maravilhoso. E para isso vamos começar desenhando os vetores das forças aplicadas nesse olhal

E tomamos aqui a liberdade de usar um paralelogramo de forças para projetar a força de 500   N em um triângulo de forças com a força resultante de 750   N que é dita no enunciado que é uma força orientada para cima.

Passo 2

Aplicando a lei dos cossenos nesse triângulo de forças conseguimos encontrar o valor de F utilizando o ângulo de 30 ° .

c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b cos ⁡ γ

Lembrando que a lei dos cossenos é parecida com a lei de Pitágoras só que subtraindo de 2 a b c o s   γ . Nessa fórmula, o nosso lado c é o lado oposto ao ângulo, os lados a e b são os lados que acompanham o ângulo e γ vai ser o nosso ângulo, que aqui será o ângulo de 30 º . Ficamos então com:

500 2 = 750 2 + F 2 - 2 × 750 × F c o s   30

Isso nos dá uma equação do segundo grau igual a:

F 2 - 2 × 750 × c o s   30 F + 750 2 - 500 2 = 0

F 2 - 1300 F + 312500 = 0

Por Bhaskara encontramos raízes iguais a:

F 1 ; F 2 = ( 318.34 ; 981.662 )

Porém não podemos encontrar um valor maior que 750   N (pois essa é a força resultante né, que é a soma entre a força F e a força de 500   N , ou seja, tanto 500 N quanto a força F precisam ser menores que 750 N ). Logo:

F = 318.34   N

Passo 3

Perfeito galera! Já temos o valor de F , então encontrar o valor do ângulo θ fica mole!

O valor de θ pode ser encontrado pela lei dos senos, você lembra da lei dos senos?

A lei dos senos diz para a gente que:

a s e n α = b s e n β = c s e n C

Onde esses senos embaixo dos lados são sempre referentes ao ângulo oposto ao lado. No nosso exemplo vai ficar mais claro!

Vamos voltar com nosso triângulo

Com os ângulos que temos a lei dos senos pode ser vista como:

c s e n   γ = b s e n   θ

Então vendo pro triângulo do nosso problema nós temos:

E a lei dos senos fica:

F sen ⁡ θ = 500 sen ⁡ 30

Isolando se n ⁡ θ e aplicando o F que encontramos no passo anterior temos:

sin ⁡ θ = F sen ⁡ 30 500 = 318.34 sen ⁡ 30 500 = 0.318

Fazendo o arco seno nesse ângulo nós acharemos o ângulo em graus igual a:

θ = sen - 1 ⁡ 0.318 = 18.56 °

Resposta

F = 318.34   N

θ = 18.56 °

Ver Outros Exercícios desse livro