21- Determine a força em cada elemento da treliça em termos do carregamento externo e indique se esses elementos estão tracionados ou comprimidos.

Passo 1

Vamos desenhar todos os ângulos na estrutura para que possamos rebater as forças em todas as vigas.

Onde vamos precisar fazer o cosseno de 90 - 2 θ que por relação trigonométrica podemos dizer que:

cos ⁡ 90 - 2 θ = sin ⁡ 2 θ

E

sin ⁡ 90 - 2 θ = c o s ⁡ ( 2 θ )

Passo 2

Analisando o ponto B nós teremos:

Fazendo a somatória das forças verticais temos:

F B A cos ⁡ ( 90 - 2 θ ) + P = 0

F B A = - P sin ⁡ 2 θ = P c o s s e c 2 θ   ( C )

E para a somatória das forças horizontais:

F B A sin ⁡ 90 - 2 θ = F B C

F B C = - P   c t g 2 θ  

Passo 3

Agora vamos analisar a junta C :

Fazendo a somatória das forças verticais nesse nó temos:

F C D cos ⁡ 90 - 2 θ + F C A cos ⁡ 90 - θ = 0

O que é igual a:

F C D sin ⁡ 2 θ = - F C A sin ⁡ θ

Agora fazendo a somatória das forças horizontais:

F C B + F C A sin ⁡ ( 90 - θ ) + F C D sin ⁡ 90 - 2 θ = P

F C B + F C A cos ⁡ θ + F C D cos ⁡ 2 θ = P

Substituindo F C B .

F C A cos ⁡ θ + F C D cos ⁡ 2 θ = P 1 + c t g 2 θ

Substituindo F C D = - F C A sin ⁡ θ sin ⁡ 2 θ

F C A c o s θ - sin ⁡ θ   c t g 2 θ = P 1 + c t g 2 θ

F C A = P × 1 + c t g   2 θ c o s θ - sin ⁡ θ   c t g 2 θ

Porém por relação trigonométrica isso pode ser reduzido:

F C A = P × sin ⁡ 2 θ + cos ⁡ 2 θ sin ⁡ 2 θ cos ⁡ θ - sin ⁡ θ cos ⁡ 2 θ

Só que como:

sin ⁡ a - b = sin ⁡ a cos ⁡ b - sin ⁡ b cos ⁡ a

Logo:

sin ⁡ 2 θ cos ⁡ θ - sin ⁡ θ cos ⁡ 2 θ = sin ⁡ θ

F C A = P × s i n 2 θ sin ⁡ θ + cos ⁡ 2 θ sin ⁡ θ

Porém:

sin ⁡ 2 θ = 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ

cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - sin 2 ⁡ θ

Logo:

F C A = P × ( 2 cos ⁡ θ + cos ⁡ θ c o t g   θ - sin ⁡ θ )  

Com esse resultado F C D valerá:

F C D = - P × ( 2 cos ⁡ θ + cos ⁡ θ c o t g   θ - sin ⁡ θ )   × sin ⁡ θ sin ⁡ 2 θ

F C D = - P 1 + cos 2 ⁡ θ c o s s e c   2 θ - sin 2 ⁡ θ   c o s s e c   2 θ

F C D = - P ( 1 + cos ⁡ 2 θ   c o s s e c   2 θ ) = - P 1 + c o t g   2 θ

Passo 4

Agora podemos partir para a última barra que é a barra A D , para isso vamos analisar as forças no ponto D .

Como o apoio em D oferece apenas uma resistência vertical, logo teremos apenas R D y como força ativa. Mas não precisamos nos preocupar com ela já que fazendo a somatória das forças horizontais temos:

F D A = F C D cos ⁡ 2 θ = - P 1 + c o t g θ cos ⁡ 2 θ

Resposta

F B A = P   c o s s e c 2 θ ( C )

F B C = P   c o t g 2 θ     ( C )

F C A = ( 2 cos ⁡ θ + cos ⁡ θ c o t g   θ - sin ⁡ θ )   P   ( T )

F C D = P 1 + c o t g   2 θ ( C )

F D A = P 1 + c o t g   2 θ cos ⁡ 2 θ   ( C )

Ver Outros Exercícios desse livro