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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 25

25- Determine o momento de inércia polar e o raio de giração polar da superfície sombreada mostrada na figura em relação ao ponto P .

Passo 1

Vendo que o sistema de coordenadas começa em P nós teremos condições de escrever o valor das constantes k 1 , c e k 2 aplicando os pontos ( 2 a , 2 a ) nas duas equações e o ponto ( 0 , a ) na parábola superior.

Aplicando esse último ponto nós teremos:

0 , a → a = c + k 2 0 2 → c = a

Agora aplicando o ponto ( 2 a , 2 a ) na parábola inferior:

2 a , 2 a → 2 a = k 1 2 a 2

k 1 = 2 a 4 a 2 = 1 2 a

Agora aplicando esse mesmo ponto na parábola superior nós teremos:

2 a , 2 a → 2 a = a + k 2 2 a 2

a = 4 a 2 k 2

k 2 = 1 4 a

Logo teremos as seguintes equações:

y s = a + 1 4 a x 2

y i = 1 2 a x 2

Onde y s significa y da parábola superior e y i o y da parábola inferior.

Passo 2

Essas duas equações são importantes para descobrir o elemento de área por linhas verticais entre as duas equações, o que nos daria um d A igual a:

d A = y s - y i d x

O que é:

d A = a + x 2 4 a - x 2 2 a d x

d A = a - x 2 4 a d x

Sabendo que x varia de - 2 a até 2 a nós teremos a seguinte área:

A = ∫ - 2 a 2 a a - x 2 4 a d x = 2 ∫ 0 2 a a - x 2 4 a d x  

O que é:

A = 2 a x - x 3 12 a 0 2 a

A = 2 2 a 2 - 8 a 2 12 = 8 a 2 3

Passo 3

Com esse elemento de área vamos descobrir a inércia em y , pois traçamos linhas verticais, então não precisará de nenhuma correção, ou seja:

I y = ∫ - 2 a 2 a x 2   a - x 2 4 a d x = 2 ∫ 0 2 a a x 2 - x 4 4 a d x

Isso é:

I y = 2 a x 3 3 - x 5 20 a 0 2 a

I y = 2 8 a 4 3 - 32 a 4 20 = 2 160 a 4 - 96 a 4 60 = 32 a 4 15

Passo 4

Agora o mais chatinho que é a inércia em x , como vamos utilizar a mesma linha vertical então nós teremos o seguinte elemento de inércia:

d I x = 1 3 y s 3 - y i 3 d x

d I x = 1 3 a + 1 4 a x 2 3 - 1 2 a x 2 3 d x

Abrindo isso temos:

d I x = 1 3 4 a 2 + x 2 3 64 a 3 - x 6 8 a 3 d x

d I x = 1 3 64 a 6 + 48 a 4 x 2 + 12 a 2 x 4 + x 6 64 a 3 - x 6 8 a 3 d x  

d I x = 1 3 64 a 6 + 48 a 4 x 2 + 12 a 2 x 4 - 7 x 6 64 a 3 d x

Integrando no mesmo intervalo nós temos:

I x = 2 ∫ 0 2 a 1 192 a 3 64 a 6 + 48 a 4 x 2 + 12 a 2 x 4 - 7 x 6 d x

Fazendo essa integral:

I x = 1 96 a 3 64 a 6 x + 48 a 4 x 3 3 + 12 a 2 x 5 5 - 7 x 7 7 0 2 a

Aplicando o intervalo:

I x = 1 96 a 3 128 a 7 + 128 a 7 + 384 5 a 7 - 128 a 7

I x = 32 a 4 15

Logo a inércia polar será igual a:

J = I x + I y = 64 a 4 15

Passo 5

E o raio de giro polar será:

k = J A

k = 64 a 4 15 8 a 2 3 = 8 a 2 5 = a 8 5

Resposta

J = 64 a 4 15

k = a 8 5

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