Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 26

26- Determine o momento de inércia polar e o raio de giração polar da superfície sombreada mostrada na figura em relação ao ponto P .

Passo 1

Considerando o sistema de coordenadas saindo de P .

O círculo pode ser escrito da seguinte forma:

x 2 + y 2 = r 2

Isolando qualquer uma das coordenadas cartesianas nós temos:

x = r 2 - y 2

Dessa forma um elemento de área igual a :

d A = x   d y = r 2 - y 2   d y

Como y em coordenadas polares vale:

y = r sin ⁡ θ

Logo:

d y = r cos ⁡ θ d θ

Pois r é constante no círculo, então:

d A = r 2 - r 2 sin 2 ⁡ cos ⁡ θ     r cos ⁡ θ d θ

d A = r 2   c o s 2 θ   d θ

Então podemos calcular a área desse círculo sabendo que os ângulos θ valem:

sin ⁡ θ = - r 2 → θ = - π 6

Se fizermos o ângulo de - π / 6 até π / 2 e depois multiplicarmos a área por 2 nós teremos a área da superfície toda. Logo:

A = 2   ∫ - π / 6 π / 2 r 2 cos 2 ⁡ θ   d θ

Sabendo que :

cos 2 ⁡ x + sin 2 ⁡ x = 1

cos 2 ⁡ x - sin 2 ⁡ x = cos ⁡ 2 x

Logo:

cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

Logo:

A = 2 ∫ - π / 6 π / 2 r 2 1 + cos ⁡ 2 θ 2   d θ

A = ∫ - π / 6 π / 2 r 2   d θ + ∫ - π / 6 π / 2 r 2 cos ⁡ 2 θ   d θ

A = r 2 π 2 + π 6 + r 2 2 sin ⁡ 2 θ - π / 6 π / 2

A = 2 π r 2 3 + r 2 2 sin ⁡ π - sin ⁡ - π 3 = 2 π r 2 3 + 3 4 r 2 = 2.527 r 2

Passo 2

Agora olha a felicidade, para fazer a questão basta fazer a inércia em x e em y , pois a geometria da superfície impossibilita o cálculo por r direto.

O elemento de área que descobrimos nos dá uma linha horizontal do que é a área de fato e com ela vamos descobrir a inércia no eixo x .

d I x = y 2 r 2 - y 2 d y

Como y varia de - r 2 até r logo temos:

I x = 2 ∫ - r / 2 r y 2 r 2 - y 2   d y

Esse 2 faz mais sentido em coordenadas polares e é para isso que vamos converter.

I x = 2 ∫ - π / 6 π / 2 r 2 sin 2 ⁡ θ × r cos ⁡ θ   d θ

Pois y = r quando θ = π / 2 e y = - π / 6 quando θ = - π / 6 . Sacou?

Dessa forma:

I x = 2 r 3 ∫ - π / 6 π / 2 sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ   ( r c o s   θ ) d θ

E d y = r cos ⁡ θ d θ como vimos no passo 1.Logo:

I x = 2 r 4 ∫ - π 6 π 2 sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ   d θ

Só que:

2 sin ⁡ x cos ⁡ x = sin ⁡ 2 x

Logo:

4 sin 2 ⁡ x   cos 2 ⁡ x = sin 2 ⁡ 2 x

Então:

I x = 2 r 4 ∫ - π 6 π 2 1 4 sin 2 ⁡ 2 θ d θ

Só que como:

cos 2 ⁡ x + sin 2 ⁡ x = 1

cos 2 ⁡ x - sin 2 ⁡ x = cos ⁡ 2 x

Então:

sin 2 ⁡ x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

Então:

I x = r 4 2 ∫ - π 6 π 2 1 2 - cos ⁡ 4 θ 2   d θ

Essa integral nos dá:

I x = r 4 2 θ 2 - sin ⁡ 4 θ 8 - π 6 π 2

Aplicando esse intervalo nós encontramos:

I x = r 4 2 π 3 - 3 16

Passo 3

Agora vamos encontrar a inércia em y utilizando o mesmo elemento horizontal de área (isso nos diz que terá o termo de correção de 1 / 3 ) .

d I y = 1 3 x 2 r 2 - y 2 d y

A integral disso nos dá:

I y = 1 3 ∫ x 2 × x   d y = 1 3 ∫ x 3   d y

Transformando para coordenadas cartesianas nós temos:

I y = 1 3 ∫ r 3 cos 3 ⁡ θ   r cos ⁡ θ   d θ

Aplicando o mesmo intervalo de θ que estamos adotando em todos os passos nós temos:

I y = 2 3 ∫ - π 6 π 2 r 4 cos 4 ⁡ θ   d θ

Só não crie cânico, cos 4 ⁡ θ   pode ser desmembrado da seguinte forma:

cos 4 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ 1 - sin 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ - cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ

cos 4 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2 - 1 4 sin 2 ⁡ 2 θ = 1 + cos ⁡ θ 2 - 1 4 1 - cos ⁡ 4 θ 2

Dessa forma:

I y = 2 r 4 3 ∫ - π 6 π 2 1 + cos ⁡ 2 θ 2 - 1 4 1 - cos ⁡ 4 θ 2   d θ

E isso será:

I y = 2 r 4 3 θ 2 + sin ⁡ 2 θ 4 - 1 4 θ 2 - sin ⁡ 4 θ 8 - π 6 π 2

Aplicando esse intervalo nós encontramos:

I y = 2 r 4 3 π 4 + 9 3 64

Passo 4

Logo o momento de inércia polar será:

J = I x + I y = r 4 2 π 3 - 3 16 + 2 r 4 3 π 4 + 9 3 64 = 1.15545 r 4

E o raio de giro será:

k = J A

k = 1.15545 r 4 2.527 r 2 = 0.6762 r

Resposta

J = 1.15545 r 4

k = 0.6762 r

Ver Outros Exercícios desse livro