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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 22.Problemas - Ex. 37

37. Uma mola torsional de elasticidade k é fixada a uma roda que tem uma massa de M. Se a roda é submetida a um deslocamento angular pequeno de θ em torno do eixo z, determine o período natural de oscilação. A roda tem um raio de giracao em torno do eixo z de k z .

Passo 1

A energia energia potencial elástica do sistema é:

V = V e = 1 2 k θ 2

A energia cinética é:

T 1 = 1 2 I z θ ˙ 2 = 1 2 M k z 2 θ ˙ 2

T 1 + V = c o n s t a n t

1 2 M k z 2 θ ˙ 2 + 1 2 k θ 2 = c o n s t a n t

Passo 2

Derivando com relação ao tempo a expressão acima:

M k z 2 θ ˙ θ ¨ + k θ θ ˙ = 0

θ ˙ M k z 2 θ ˙ + k θ = 0

Como θ ˙ não pode ser zero, então:

M k z 2 θ ˙ + k θ = 0

θ ˙ + k M k z 2 θ = 0

Comparando a equação acima com a equação base, obtemos:

ω n = k M k z 2

O período natarual de oscilação é dado por:

τ = 2 π ω n 1

τ = 2 π M k z 2 k

Resposta

τ = 2 π M k z 2 k

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