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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 22.Problemas - Ex. 40

40. A engrenagem de massa m tem um raio de giracao em torno de seu centro de massa O de k 0 . As molas têm rigidez de k 1   e   k 2 , respectivamente, e ambas as molas estão não deformadas quando a engrenagem está em uma posição de equilibro. Se a engrenagem é submetida a um deslocamento angular pequeno de θ e solta, determine o seu período natural de oscilação.

Passo 1

A energia potencial elástica do sistema é dada por:

V e = 1 2 k 1 s o 2 + 1 2 k 2 s o 2

= 1 2 k 1 r θ 2 + 1 2 k 2 r θ 2

= 1 2 r 2 k 1 + k 2 θ 2

A energia cinética do sistema é:

T = 1 2 m v o 2 + 1 2 I o ω 2

= 1 2 m θ ˙ r 2 + 1 2 m k o 2 θ ˙ 2

1 2 m r 2 + k 0 2 θ ˙ 2

T + V = c o n s t a n t

1 2 m r 2 + k 0 2 θ ˙ 2

+ 1 2 r 2 k 1 + k 2 θ 2 = 0

Passo 2

Derivando com relação ao tempo e rearranjando a equação acima, nos ficamos com:

θ ¨ + r 2 ( k 1 + k 2 ) m r 2 + k o 2 θ = 0

Passo 3

A partir daí, por comparação, obtemos que:

ω n = r 2 ( k 1 + k 2 ) m r 2 + k o 2

O período natural de oscilação é:

τ = 2 π ω n = 2 π m ( r 2 + k 0 2 ) r 2 ( k 1 + k 2 )

Resposta

τ = 2 π m ( r 2 + k 0 2 ) r 2 ( k 1 + k 2 )

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