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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 22

4.20 – 4.22Use método da integral de Duhamel para derivar expressões para a resposta de um sistema não amortecido sujeito às funções forçantes mostradas nas figuras 4.39 (a) a (c).

Passo 1

Use método da integral de Duhamel para derivar expressões para a resposta de um sistema não amortecido sujeito às funções

F ( t ) = F 0 1 - c o s ⁡ π t 2 t 0         ; 0 ≤ t ⩽ t 0 0         ; t > t 0 (E1)

Para um sistema sem amortecimento, eq 4.33 se torna

x ( t ) = 1 m ω n ∫ 0 t   F ( τ ) s i n ⁡ ω n ( t - τ ) d τ

Para  0 ≤ t ≤ t 0 :

x ( t ) = F 0 m ω n ∫ 0 t   1 - c o s ⁡ π τ 2 t 0 s i n ⁡ ω n ( t - τ ) d τ (E2)

Note que

∫ 0 t   s i n ⁡ ω n t - ω n r d τ = 1 ω n c o s ⁡ ω n t - ω n τ 0 t = 1 ω n 1 - c o s ⁡ ω n t

E ∫ 0 t   c o s ⁡ π τ 2 t 0 s i n ⁡ ω n t c o s ⁡ ω n r - c o s ⁡ ω n t s i n ⁡ ω n r d τ

= s i n ⁡ ω n t s i n ⁡ π 2 t 0 - ω n τ 2 π 2 t 0 - ω n + s i n ⁡ π 2 t 0 + ω n τ 2 π 2 t 0 + ω n 0 t

- c o s ⁡ ω n t - c o s ⁡ ω n - π 2 t 0 τ 2 ω n - π 2 t 0 - c o s ⁡ ω n + π 2 t 0 τ 2 ω n + π 2 t 0 0 t

= - 1 2 π 2 t 0 - ω n c o s ⁡ π t 2 t 0 - c o s ⁡ ω n t + 1 2 π 2 t 0 + ω n c o s ⁡ π t 2 t 0 - c o s ⁡ ω n t ,

Eq (E2) pode ser simplificada como

x t = F 0 k 1 - cos ⁡ ω n t + F 0 m π 2 t 0 2 - ω n 2 cos ⁡ π τ 2 t 0 - cos ⁡ ω n t         E 3

Passo 2

Para  t ≥ t 0 :

x ( t ) = F 0 m ω n ∫ 0 t 0   1 - c o s ⁡ π τ 2 t 0 s i n ⁡ ω n ( t - τ ) d τ (E4)

= F 0 m ω n 1 ω n c o s ⁡ ω n t - t 0 - 1 ω n c o s ⁡ ω n t - F 0 m ω n s i n ⁡ ω n t

s i n ⁡ π 2 t 0 - ω n t 0 2 π 2 t 0 - ω n + s i n ⁡ π 2 t 0 + ω n t 0 2 π 2 t 0 + ω n + c o s ⁡ ω n t

c o s ⁡ π 2 t 0 - ω n t 0 2 ω n - π 2 t 0 + c o s ⁡ π 2 t 0 + ω n t 0 2 ω n + π 2 t 0 - 1 2 ω n - π 2 t 0 - 1 2 ω n + π 2 t 0

i.e.,  x ( t ) = F 0 k c o s ⁡ ω n t - t 0 - c o s ⁡ ω n t

- F 0 2 m ω n π 2 t 0 - ω n s i n ⁡ ω n t - t 0 - F 0 2 m ω n π 2 t 0 + ω n s i n ⁡ ω n t - t 0

+ F 0 2 m ω n c o s ⁡ ω n t ⋅ - 1 π 2 t 0 - ω n + 1 π 2 t 0 + ω n (E5)

Resposta

+ F 0 2 m ω n c o s ⁡ ω n t ⋅ - 1 π 2 t 0 - ω n + 1 π 2 t 0 + ω n

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