4.46. A escora AB de uma comporta de 1 m de diâmetro exerce uma força de 50   N no ponto B. Determine o momento dessa força em relação ao ponto O.

Passo 1

Vamos começar analisando vetorialmente e extraindo do problema os vetores que precisamos para calcular o momento.

M = u a → ⋅ r → × F → = u a x u a y u a z r x r y r z F x F y F z

O vetor posição vai ser aquele que sai do ponto O e vai até o ponto B

r O B = ( 0 - 0 )   i + ( 1 cos ⁡ 30 ° - 0 )   j + ( 1 sin ⁡ 30 ° - 0 )   k m

r O B = 0,8660   j + 0,5   k m

E o vetor força vamos ter que decompor

F = 450 0 - 0,5 sin ⁡ 30 ° i + 1 cos ⁡ 30 ° - 0,5 + 0,5 cos ⁡ 30 ° j + 1 sin ⁡ 30 ° - 0 k 0 - 0,5 sin ⁡ 30 ° 2 + 1 cos ⁡ 30 ° - 0,5 + 0,5 cos ⁡ 30 ° 2 + 1 sin ⁡ 30 ° - 0 2

Fazendo as contas

F = { - 199,82   i - 53,54   j + 399,63   k }

Por fim, sabemos que o vetor unitário é aquele padrão, que tem módulo 1 e aponta nas direções x,y,z

u → = ( 1,1 , 1 )

Passo 2

Agora vamos calcular o momento usando

M = u a → ⋅ r → O B × F →

Podemos resolver com a matriz

i j k 0 0,8660 0,5 - 199,82 - 53,54 399,63

= 373   i - 99,9   j + 173   k N ⋅ m  

Resposta

M = 373   i - 99,9   j + 173   k N ⋅ m

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