Enunciado

53. Determine o momento resultante de duas forças em relação ao eixo O a . Expresse o resultado como um vetor cartesiano.

Passo 1

Para fornecer o resultado como o enunciado pede precisamos calcular o momento da força F usando o produto vetorial que é dado da seguinte maneira:

M 0 → = u a → ⋅ ( r → × F → ) = u a x u a y u a z r x r y r z F x F y F z

Onde:

u a x ,   u a y   e   u a z representam as componentes do vetor unitário definido na direção do eixo de rotação

r x ,   r y   e   r z representam as coordenadas do vetor posição definido a partir de qualquer ponto O sobre o eixo de rotação até qualquer ponto na linha de aplicação da força.

F x ,   F y   e   F z são as componentes da força F aplicada.

Teremos que realizar essa conta para cada força e depois somar os resultados.

Para saber as coordenadas do vetor r → de cada força, basta olhar a figura e ver quanto você tem que andar para cada direção para chegar ao ponto na linha de ação das forças, logo:

r 1 → = { 4 sin ⁡ 30 ° i + 4 cos ⁡ 30 ° j + 6 k }

= { 2 i + 3,464 j + 6 k }

r 2 → = 0 i - 5 sin ⁡ 30 ° + 0 k

= { 0 i - 2,5 j + 0 k }

O vetor unitário que tem a mesma direção que o eixo de rotação que é o eixo O a , é dado por:

u O → = r O → r O →

Onde r O → é o vetor que sai do ponto O até um ponto qualquer da reta O a , usando as distancias que tem na figura ao nosso favor, temos:

r O → = { 5 cos ⁡ 30 ° i - 5 sin ⁡ 30 ° j + 0 k }

r O → = 5 cos ⁡ 30 ° 2 + 5 sin ⁡ 30 ° 2 + 0 2

= 25 cos 2 ⁡ 30 ° + 25 sin 2 ⁡ 30 °

25 = 5

Logo:

u O → = 5 cos ⁡ 30 ° i - 5 sin ⁡ 30 ° j + 0 k 5

= { cos ⁡ 30 ° i - sin ⁡ 30 ° j + 0 k }

= 0,866 i - 0,5 j + 0 k

Passo 2

Agora que temos tudo que precisamos, vamos calcular o momento de cada força, vamos começar com F 1 .

M 1 → = u O → ⋅ ( r 1 → × F 1 → ) = u a x u a y u a z r x r y r z F x F y F z

= 0,866 - 0,5 0 2 3,464 6 80 cos ⁡ 120 ° 80 cos ⁡ 60 ° 80 cos ⁡ 45 °

= 0,866 - 0,5 0 2 3,464 6 - 40 40 56,568

= 0,866 3,464 ⋅ 56,568 - 6 ⋅ 40 + 0,5 2 ⋅ 56,568 + 40 ⋅ 6 + 0 [ 2 ⋅ 40 + ( 40 ⋅ 3,464 ) ]

= 0,866 195,951 - 240 + 0,5 113,136 + 240 + 0

= - 38,146 + 176,568

= 138,422

Agora vamos calcular para F 2 .

M 2 → = u O → ⋅ ( r 2 → × F 2 → ) = u a x u a y u a z r x r y r z F x F y F z

= 0,866 - 0,5 0 0 - 2,5 0 0 0 50

= 0,866 - 2,5 ⋅ 50 - 0 ⋅ 0 + 0,5 0 ⋅ 50 - 0 ⋅ 0 + 0 [ 0 ⋅ 0 - ( - 2,5 ⋅ 0 ) ]

= 0,866 - 125 - 0 + 0

= - 108,25

Passo 3

Agora que temos o momento de cada força, basta somá-los e encontraremos o momento resultante, então:

M R = 138,422 - 108,25

= 30,172   l b ⋅ f t

Mas isso que encontramos é a intensidade do momento, para achar ele em forma cartesiana, basta multiplicá-lo pelo vetor unitário, já que eles têm a mesma direção e sentido, assim:

M R → = M R u O → = 30,172 { 0,866 i - 0,5 j + 0 k }

= 26,13 i - 15,08 j + 0   l b ⋅ f t

Resposta

M R → = 26,13 i - 15,08 j + 0   l b ⋅ f t

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