Enunciado

55. Determine as forças em cada um dos elementos de uma treliça especial que sustenta um carregamento de 1000   l b e indique se esses elementos estão sob tração ou compressão.

Passo 1

Inicialmente vamos considerar todas as forças como sendo de tração, caso alguma apareça de forma negativa, saberemos que ela não é de tração, mas sim de compressão.

Vamos analisar o ponto D e utilizar as equações de equilíbrio referentes as forças em cada direção, pois como ele é o ponto onde todos os membros se ligam.

Para isso vamos usar as componentes das forças em cada direção, vamos transformar essas forças em vetores, para isso basta multiplicá-las pelos vetores unitários que tem a mesma direção que cada força.

Passo 2

Primeiro vamos transformar as forças em vetores como foi dito no passo 1 .

Vamos começar com F A D :

u A D → = r A D → r A D →

= 10 i - 5 j + 10 k 100 + 25 + 100

= 0,667 i - 0,333 j + 0,667 k

F A D → = F A D { 0,667 i - 0,333 j + 0,667 k }

Vamos agora com F C D :

u C D → = r C D → r C D →

= - 2 i - 5 j + 10 k 4 + 25 + 100

= - 0 , 1 7 6 i - 0 , 440 j + 0 , 880 k

F C D → = F C D { - 0,176 i - 0,440 j + 0,880 k }

Vamos agora com F B D :

u B D → = r B D → r B D →

= 10 i + 5 j + 10 k 100 + 25 + 100

= 0,667 i + 0,333 j + 0,667 k

F B D → = F B D { 0,667 i + 0,333 j + 0,667 k }

Passo 3

Agora vamos analisar as equações de equilíbrio no ponto D .

∑ F x = 0

- 0,667 F A D - 0,176 F C D + 0,667 F B D = 0

∑ F y = 0

0,333 F A D - 0 , 440 F C D + 0 , 333 F B D = 0

∑ F z = 0

0,667 F A D + 0 , 880 F C D + 0,667 F B D - 1000 = 0

⇒ 0,667 F A D + 0,880 F C D + 0,667 F B D = 1000

Passo 4

Do passo 3 achamos as seguintes equações:

- 0,667 F A D - 0,176 F C D + 0,667 F B D = 0

0,333 F A D - 0,440 F C D + 0,333 F B D = 0

0,667 F A D + 0,880 F C D + 0,667 F B D = 1000

Resolvendo o sistema de equações que encontramos, ficamos com:

F C D = - 568   l b

Como o resultado foi negativo, essa força não é uma força de tração, mas sim de compressão.

F B D = - 450   l b

Como o resultado foi negativo, essa força não é uma força de tração, mas sim de compressão.

F A D = - 30 0   l b

Como o resultado foi negativo, essa força não é uma força de tração, mas sim de compressão.

Resposta

F C D = 568   l b   C o m p r e s s ã o

F A D = 300   l b   C o m p r e s s ã o

F B D = 450   l b   C o m p r e s s ã o

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