Enunciado

59. A treliça espacial é apoiada por uma junta esférica em D e por conexões curtas em C e E . Determine as forças em cada um dos elementos e indique se eles estão sob tração ou compressão. Considere que F 1 = 2 00 i + 300 j - 500 k   l b e F 2 = 400 j   l b .

Passo 1

Inicialmente vamos considerar todas as forças como sendo de tração, caso alguma apareça de forma negativa, saberemos que ela não é de tração, mas sim de compressão.

Vamos analisar os pontos um de cada vez e utilizar as equações de equilíbrio referentes as forças em cada direção, pois com esses pontos conseguimos cobrir todos os membros.

Para isso vamos usar as componentes das forças em cada direção e isso pode ser feito se você observar que elas fazem parte de triângulos retângulos, mas especificamente, são as hipotenusas, logo podemos expressar suas componentes através de proporção entre os lados do triângulo.

Passo 2

Primeiro, antes de analisarmos cada ponto da treliça, temos que determinar as forças que os membros em C e D aplicam no sistema, para isso vamos utilizar as equações de equilíbrio referente ao momento em relação ao eixo z e y e também a equação de equilíbrio referente a força na direção x . Vamos lá:

∑ F x = 0

D x + 200 = 0

⇒ D x = - 200   l b

∑ M z = 0

- C y 3 - 400 3 - 200 ( 4 ) = 0

⇒ C y = - 666,7   l b

∑ M y = 0

C z 3 - 200 ( 3 ) = 0

⇒ C z = 200   l b

Agora podemos prosseguir com a análise dos pontos da treliça.

Passo 3

Primeiro o ponto F :

∑ F y = 0

F B F = 0

Nas outras direções, não encontraremos nada demais por enquanto, depois devemos voltar para ele.

Passo 4

Agora vamos analisar o ponto B :

∑ F z = 0

F B C = 0

∑ F y = 0

400 - 4 5 F B E = 0

⇒ F B E = 500   l b

Como o resultado foi positivo, essas forças são realmente forças de tração.

∑ F x = 0

- F A B - 3 5 500 = 0

⇒ F A B = - 300   l b

Como o resultado foi negativo, essa força não é uma força de tração, mas sim de compressão.

Passo 5

Agora vamos analisar o ponto A :

∑ F x = 0

300 + 200 - 3 34 F A C = 0

⇒ F A C = 971 , 8   l b

Como o resultado foi positivo, essas forças são realmente forças de tração.

∑ F z = 0

3 34 971,8 - 500 + 3 5 F A D = 0

⇒ F A D = 0

∑ F y = 0

- F A E + 300 - 4 34 ( 971,8 ) = 0

⇒ F A E = - 366 , 6   l b

Como o resultado foi negativo, essa força não é uma força de tração, mas sim de compressão.

Passo 6

Agora vamos analisar o ponto E :

∑ F z = 0

⇒ F D E = 0

∑ F x = 0

- 3 5 500 - F E F = 0

⇒ F E F = - 300   l b

Como o resultado foi negativo, essa força não é uma força de tração, mas sim de compressão.

Passo 7

Agora vamos analisar o ponto C :

∑ F x = 0

F C D + 3 34 971,8 = 0

⇒ F C D = - 500   l b

Como o resultado foi negativo, essa força não é uma força de tração, mas sim de compressão.

∑ F z = 0

- 3 34 971,8 + 200 - F C F = 0

⇒ F C F = - 300   l b

Como o resultado foi negativo, essa força não é uma força de tração, mas sim de compressão.

Passo 8

Agora vamos voltar a analisar o ponto F :

∑ F x = 0

- 300 + 3 18 F D F = 0

⇒ F D F = 424,26   l b

Como o resultado foi positivo, essas forças são realmente forças de tração.

Resposta

F B F = 0

F B C = 0

F B E = 500   l b     T r a ç ã o

F A B = 300   l b     C o m p r e s s ã o

F A C = 971,8   l b     T r a ç ã o

F A D = 0

F A E = 366,6   l b     C o m p r e s s ã o

F D E = 0  

F E F = 300   l b     C o m p r e s s ã o

F C D = 5 00   l b     C o m p r e s s ã o

F C F = 300   l b     C o m p r e s s ã o

F D F = 424,26   l b     T r a ç ã o

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