Enunciado

62. Um pequeno pino está em repouso sobre a mola contida dentro do tubo liso. Quando a mola é comprimida de modo que s = 0,15   m , ela exerce uma força de 60   N para cima sobre o pino. Determine o ponto de acoplamento A ( x , y , 0 ) da corda P A de modo que as tensões nas cordas P B e P C sejam iguais a 30   N e 50   N , respectivamente.

Passo 1

Para resolver esse problema temos que fazer várias etapas.

Primeiro devemos achar a intensidade da força F P A , mas iremos achar essa intensidade atrvés das suas componentes em cada direção, e vamos achar essas componentes analisando a seguinte equação de equilíbrio:

∑ F → = 0

Mas para isso temos que colocar as forças do nosso problema na forma vetorial. Para transforma a forças, basta multiplicá-las pelo vetor unitário que tem a mesma direção de cada força, e podemos obtê-los através da figura.

Tendo feito todo esse processo vamos ter que achar os ângulos diretores de F P A , então vamos construir um vetor unitário na mesma direção dessa força da seguinte maneira:

u → = F → | F → | = F x F + F y F + F z F

E depois temos que cada componente representa o cosseno do ângulo diretor referente a direção da componente.

Tendo os ângulos diretores, basta multiplicar o comprimento de P A pelo cosseno desses ângulos que teremos as componentes x ,   y e z , só que a componente z já temos que é dado pela figura ( - 0,15 ) , basta achar x e y que acaba sendo justamente as coordenadas de A , que é o que o enunciado pede.

Passo 2

Então as forças nas suas formas vetoriais são:

F P A → = F P A x i + F P A y j + F P A z k

F P B → = 3 0 0 i - 0,4 j - 0,15 k 0 + 0,16 + 0,0225

= 3 0 0 i - 0,4 j - 0,15 k 0,1825

= 3 0 0 i - 0,4 j - 0,15 k 0,427 = 0 i - 28,1 j - 10,53 k

F P C → = 5 0 - 0 , 3 i + 0 , 2 j - 0,15 k 0 , 09 + 0 , 04 + 0,0225

= 5 0 - 0,3 i + 0,2 j - 0,15 k 0,1525

= 5 0 - 0,3 i + 0,2 j - 0,15 k 0,390 = - 38,46 i + 2 5 , 64 j - 19,23 k

E temos a força peso ( W ) que é dada por:

W → = 0 i + 0 j + 60 k

Passo 3

Vamos abrir a equação de equilíbrio então:

∑ F → = 0

F P A x i + F P A y j + F P A z k + 0 i + 0 j + 60 k + 0 i - 28,1 j - 10,53 k +

+ - 38,46 i + 25,64 j - 19,23 k = 0

⇒ F P A x - 38,46 i + F P A y - 28,1 + 25,64 j + F P A z + 60 - 10,53 - 19,23   k = 0

Então temos que:

F P A x - 38,46 = 0

⇒ F P A x = 38,46   N

F P A y - 28,1 + 25,64 = 0

⇒ F P A y = 2,46   N

F P A z + 60 - 10,53 - 19,23 = 0

⇒ F P A z = 30,24   N

Passo 4

Tendo as componentes de F P A , podemos achar sua norma, da seguinte maneira:

F P A → = 38,46 2 + 2,46 2 + 30,24 2

= 1479,171 + 6,051 + 914,457

= 2399,679

= 48,98   N

Passo 5

Tendo a intensidade de F P A e suas componentes, vamos usar a relação comentada no passo 1 para achar os ângulos diretores.

u P A → = F P A → | F P A → | = F P A x F P A + F P A y F P A + F P A z F P A

= 38,46 48,98   + 2,46 48,98   + 30,24 48,98  

Temos que:

cos ⁡ α = 38,46 48,98  

⇒ α = 38,25 °

cos ⁡ β = 2,46 48,98  

⇒ β = 87,12 °

cos ⁡ γ = 30,24 48,98  

⇒ γ = 51,87 °

Passo 6

Já que temos os ângulos diretores, então:

x = P A cos ⁡ α

y = P A cos ⁡ β

z = P A cos ⁡ γ

Como já foi mencionado no passo 1 , z = - 0,15 , logo:

P A = z cos ⁡ γ

= - 0,15 cos ⁡ 51,87 °

= - 0,15 0,617 = 0,243   m

Tendo P A fica fácil achar x e y com as fórmulas acima, então:

x = P A cos ⁡ α

= 0,243 cos ⁡ 38,25 °

= 0,190   m

y = P A cos ⁡ β

= 0,243 cos ⁡ 87,12 °

= 0,0123   m

Resposta

x = 0,190   m

y = 0,0123   m

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