Enunciado

64. A esfera de 80   l b está suspensa a parti do anel horizontal por meio de três molas, cada uma com comprimento de 1,5     p é sem deformação e rigidez de 50   l b / p é . Determine a distância vertical h do ponto A do anel para a condição de equilíbrio.

Passo 1

Para achar o h que é pedido no enunciado vamos usar trigonometria, se você reparar a figura temos 3 triângulos iguais formados pelas molas e dois catetos imaginários, um dos catetos será o próprio h e o outro igual a 1,5   p é e a nossa hipotenusa valendo l .

Mas podemos descobrir esses parâmetros através do ângulo entre h e l , que chamaremos de γ . Então vamos analisar esse sistema através da equação de equilíbrio na direção z , que é o que importa nesse sistema já que nas outras direções as forças se cancelam pelo corpo está em equilíbrio.

Então temos que:

∑ F z = 0

Precisaremos usar a fórmula da força elástica também, já que todas as forças envolvidas no problema são forças elásticas, então a fórmula aplicada ao nosso caso:

F P = k s

= 50 ( l - l 0 )

Passo 2

Vamos abrir a equação de equilíbrio então:

F P cos ⁡ γ + F P cos ⁡ γ + F P cos ⁡ γ - 80 = 0

3 F P cos ⁡ γ = 80

Temos do passo 1 que:

F P = 50 l - l 0

O valor de l 0 já foi fornecido pelo enunciado e o l , se olharmos pra figura podemos reparar, através de trigonometria, que:

1,5 = l sin ⁡ γ

Então:

l = 1,5 sin ⁡ γ

Passo 3

Juntando tudo, temos que:

3 F P cos ⁡ γ = 80

⇒ 3 ⋅ 50 1,5 sin ⁡ γ - 1,5 cos ⁡ γ = 80

⇒ 225 sin ⁡ γ cos ⁡ γ - 225 cos ⁡ γ = 80

⇒ 225 sin ⁡ γ - 225 = 80 cos ⁡ γ

⇒ 80 tan ⁡ γ = 225 - 225 sin ⁡ γ

⇒ tan ⁡ γ = 2,8125 ( 1 - sin ⁡ γ )

Infelizmente caímos em uma equação que só é possível de se resolver por tentativa e erro ou numericamente através de um software matemático, se fizermos isso iremos achar que:

γ = 42,44 °

Passo 4

Agora tendo o valor γ , podemos achar o valor de h agora, então:

h = 1,5 tan ⁡ γ

= 1,5 tan ⁡ 42,44 °

= 1,64   p é s

Resposta

h = 1,64   p é s

Ver Outros Exercícios desse livro