71. O homem tenta puxar a tora em usando as três cordas. Determine a direção em que ele deve puxar sua corda com uma força de de modo a exercer uma força máxima sobre a tora e defina qual é essa força. Determine também a direção em que ele deve puxar a tora a fim de maximizar a força na corda presa em e defina qual é essa força máxima.
Passo 1
O enunciado quer duas coisas de nós, primeiro a direção que produz força máxima em e depois a direção que produz força máxima em .
Tanto para um caso quanto para outro, vamos analisar o sistema como se estivesse em equilíbrio, então temos:
Mas para isso precisamos decompor nossas forças em suas componentes em e em . Para a força na direção , basta traçar uma linha vertical que passa por , que é possível ver que o ângulo que essa força faz com a vertical é , tendo esse ângulo, fica de boa decompor a força.
Passo 2
Vamos analisar as equações de equilíbrio então.
Passo 3
No passo dois achamos duas expressões, mas para determinar a primeira coisa que o enunciado pede, só uma vai ser interessante, que no caso é:
Mas por que ela é interessante? Bem se você reparar ela é bem dizer uma função de com dependência em e o que o enunciado justamente quer inicialmente é um que faça máxima.
Para achar esse ângulo podemos usar uma propriedade da derivada ao nosso favor, que é o derivarmos essa função com respeito a e igualar a , encontrando o que faz isso teremos assim o máximo da função. Vamos lá:
Então para , temos como achar , então:
Passo 4
Vamos agora achar a segunda coisa que o enunciado pede, que é o que faz ser máxima, para isso vamos usar o resultado da equação de equilíbrio referente a direção que é:
Sabendo um resultado que já achamos, que é:
E substituindo na equação anterior, temos que:
Se você reparar ela é uma função de com dependência em e o que o enunciado justamente quer por último é um que faça máxima.
Para achar esse ângulo podemos usar uma propriedade da derivada ao nosso favor, que é o derivarmos essa função com respeito a e igualar a , encontrando o que faz isso teremos assim o máximo da função. Vamos lá:
Então para , temos como achar , então:
Resposta
Situação:
Situação: