Enunciado

71. O homem tenta puxar a tora em C usando as três cordas. Determine a direção θ em que ele deve puxar sua corda com uma força de 80   l b de modo a exercer uma força máxima sobre a tora e defina qual é essa força. Determine também a direção em que ele deve puxar a tora a fim de maximizar a força na corda presa em B e defina qual é essa força máxima.

Passo 1

O enunciado quer duas coisas de nós, primeiro a direção θ que produz força máxima em B C e depois a direção θ que produz força máxima em A B .

Tanto para um caso quanto para outro, vamos analisar o sistema como se estivesse em equilíbrio, então temos:

∑ F x = 0

∑ F y = 0

Mas para isso precisamos decompor nossas forças em suas componentes em x e em y . Para a força na direção B C   ( F B C ) , basta traçar uma linha vertical que passa por B , que é possível ver que o ângulo que essa força faz com a vertical é 60 ° , tendo esse ângulo, fica de boa decompor a força.

Passo 2

Vamos analisar as equações de equilíbrio então.

∑ F x = 0

80 cos ⁡ θ + F A B - F A C sin ⁡ 60 ° = 0

⇒ 0,866 F A C = F A B + 80 cos ⁡ θ

∑ F y = 0

80 sin ⁡ θ - F A C cos ⁡ 60 ° = 0

⇒ 0,5 F A C = 80 sin ⁡ θ

⇒ F A C = 160 sin ⁡ θ

Passo 3

No passo dois achamos duas expressões, mas para determinar a primeira coisa que o enunciado pede, só uma vai ser interessante, que no caso é:

F A C = 160 sin ⁡ θ

Mas por que ela é interessante? Bem se você reparar ela é bem dizer uma função de F A C com dependência em θ e o que o enunciado justamente quer inicialmente é um θ que faça F A C máxima.

Para achar esse ângulo podemos usar uma propriedade da derivada ao nosso favor, que é o derivarmos essa função com respeito a θ e igualar a 0 , encontrando o θ que faz isso teremos assim o máximo da função. Vamos lá:

d F A C d θ = 160 cos ⁡ θ = 0

⇒ cos ⁡ θ = 0

⇒ θ = 90 °

Então para θ = 90 ° , temos como achar F A C , então:

F A C = 160 sin ⁡ 90 °

= 160   l b

Passo 4

Vamos agora achar a segunda coisa que o enunciado pede, que é o θ que faz F A B ser máxima, para isso vamos usar o resultado da equação de equilíbrio referente a direção x que é:

0,866 F A C = F A B + 80 cos ⁡ θ

Sabendo um resultado que já achamos, que é:

F A C = 160 sin ⁡ θ

E substituindo na equação anterior, temos que:

0,866 ( 160 sin ⁡ θ ) = F A B + 80 cos ⁡ θ

⇒ 138,56 sin ⁡ θ = F A B + 80 cos ⁡ θ

⇒ F A B = 138,56 sin ⁡ θ - 80 cos ⁡ θ

Se você reparar ela é uma função de F A B com dependência em θ e o que o enunciado justamente quer por último é um θ que faça F A B máxima.

Para achar esse ângulo podemos usar uma propriedade da derivada ao nosso favor, que é o derivarmos essa função com respeito a θ e igualar a 0 , encontrando o θ que faz isso teremos assim o máximo da função. Vamos lá:

d F A B d θ = 138,56 cos ⁡ θ + 80 sin ⁡ θ = 0

⇒ 80 sin ⁡ θ = - 138,56 cos ⁡ θ

⇒ tan ⁡ θ = - 1,732

⇒ θ = 120 °

Então para θ = 12 0 ° , temos como achar F A B , então:

F A B = 138,56 sin ⁡ 120 ° - 80 cos ⁡ 120 °

= 119,99 - - 40

= 159,99 ≅ 160   l b

Resposta

1 º Situação:

θ = 90 °

F A C = 160   l b

2 º Situação:

θ = 120 °

F A B = 160 °

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