Enunciado

50. Usando uma peça anelar, a força de 75   N pode ser aplicada no plano vertical para vários ângulos θ . Determine a intensidade do momento produzido em relação ao ponto A . Faça um gráfico do resultado de M (na ordenada) versus θ (na abscissa) para 0 ≤ θ ≤ 180 ° e especifique os ângulos que fornecem os momentos máximo e mínimo.

Passo 1

Para fornecer o resultado como o enunciado pede precisamos calcular o momento da força F usando o produto vetorial que é dado da seguinte maneira:

M 0 → = ( r → × F → ) = i j k r x r y r z F x F y F z

Onde:

r x ,   r y   e   r z representam as coordenadas do vetor posição definido a partir do ponto que queremos calcular o momento até qualquer ponto na linha de aplicação da força.

F x ,   F y   e   F z são as componentes da força F aplicada.

Para saber as coordenadas do vetor r → , basta olhar a figura e ver quanto você tem que andar para cada direção para chegar ao ponto na linha de ação da força, logo:

r → = { 2 i + 1,5 j + 0 k }

Tendo encontrado o momento, teremos ele na forma vetorial, então teremos que calcular a norma desse vetor para obtermos a intensidade do momento.

Tendo esses resultados ainda falta saber os pontos máximos e mínimos para marcarmos no gráfico. para achar esse ângulo podemos usar uma propriedade da derivada ao nosso favor, que é o derivarmos essa função com respeito a θ e igualar a 0 , encontrando o θ que faz isso e teremos assim os máximos e os mínimos da função.

Passo 2

Agora que já temos tudo que precisamos, vamos calcular o momento em relação ao ponto A .

M A → = ( r → × F → ) = i j k r x r y r z F x F y F z

= i j k 2 1 , 5 0 0 75 cos ⁡ θ 75 sin ⁡ θ

= i 1,5 ⋅ 75 sin ⁡ θ - 0 ⋅ 75 cos ⁡ θ - j 2 ⋅ 75 sin ⁡ θ - 0 ⋅ 0 + k 2 ⋅ 75 cos ⁡ θ - 1,5 ⋅ 0

= 112,5 sin ⁡ θ i - 150 sin ⁡ θ j + 150 cos ⁡ θ k

Passo 3

Nós encontramos o momento na forma vetorial, agora vamos calcular a intensidade dele através da norma dele.

M A = 12656,25 sin 2 ⁡ θ + 22500 sin 2 ⁡ θ + 22500 cos 2 ⁡ θ

= 12656,25 sin 2 ⁡ θ + 22500

Passo 4

Antes de partimos para o gráfico temos que encontrar os pontos críticos dessa pequena função (kkkk), e faremos isso usando a derivada ao nosso fazer, calculando a derivada da função, igualando a 0 e vendo quais θ , tornam a igualdade verdadeira.

d M A d θ = 1 2 12656,25 sin 2 ⁡ θ + 22500 - 1 2 25312,5 sin ⁡ θ cos ⁡ θ = 0

⇒ sin ⁡ θ cos ⁡ θ = 0

Dentro do limite estabelecido pelo enunciado ( 0 ≤ θ ≤ 180 ° ) , temos:

θ = 0 °

θ = 90 °

θ = 180 °

Para esses valores de θ , temos:

M m á x = 12656,25 sin 2 ⁡ 90 ° + 22500

= 35156,25

= 187,5   N ⋅ m

E temos para M m í n com θ = 0 ° ou 180 ° :

M m í n = 12656,25 sin 2 ⁡ 180 ° + 22500

= 22500

= 150   N ⋅ m

Passo 5

Agora abaixo temos o gráfico como é pedido no enunciado.

Resposta

M A = 12656,25 sin 2 ⁡ θ + 22500

M m á x → θ = 90 °

M m í n → θ = 0 ° ,   θ = 180 °

Ver Outros Exercícios desse livro