76- A armação de tubos sustenta as cargas verticais mostradas na figura. Determine os componentes de reação na junta esférica A e a tensão nos cabos de sustentação B C e B D .

Passo 1

Antes de analisar a força nos tubos vamos determinar o vetores do cabos. Começando pelos pontos extremos desses dois vetores:

B = 0,1 , 1 [ m ]

C = 2,0 , 3 [ m ]

D = - 2,0 , 3 [ m ]

A força aponta de B para C ou para D logo:

v B C = C - B = 2 - 0 i + 0 - 1 j + 3 - 1 k = 2 i - j + 2 k

v B D = D - B = - 2 - 0 i - j + 2 k = - 2 i - j + 2 k

Com o comprimento desse vetor valendo:

r = 2 2 + 1 2 + 2 2 = 3   m

Logo o vetor força dos cabos vale:

F B C = F B C 2 3 i - 1 3 j + 2 3 k

F B D = F B D - 2 3 i - 1 3 j + 2 3 k

Passo 2

Sabendo que a junta esférica oferece reações forças em todos os eixos logo o diagrama de forças fica da seguinte maneira:

Fazendo a somatória dos momentos em y temos (força em x com distância e z e força em z com distância em x ).

∑ M y = 0

1 k × 2 3 F B C i - 1 k × - 2 3 F B D i = 0 → F B C = F B D

Com esse resultado descobrimos R A x fazendo a somatória das forças em x .

R A X + 1 k × 2 3 F B C i - 1 k × - 2 3 F B D i = 0

Passo 3

Vamos fazer a somatória dos momentos em x (força em y com distância em z e força em z com distância em y )

∑ M x = 0

1 j × 2 3 F B C k + 1 j × 2 3 F B D k - 4 j × 3 k + 5.5 j × - 4 k + 1 k × - 1 3 F B C j + 1 k × - 1 3 F B D j = 0

2 3 F B C + 2 3 F B D - 12 - 22 + 1 3 F B C + 1 3 F B D = 0

F B C + F B D = 34

Como os dois são iguais:

F B C = F B D = 17   k N

Passo 4

Fazendo a somatória das forças em z temos:

R A z + 2 3 F B C + 2 3 F B D - 4 - 3 = 0

R A X = 7 - 4 3 17   k N = - 15.67   k N

E fazendo a somatória das forças em y :

R A y - 1 3 F B C - 1 3 F B D = 0

R A y = 2 3 17   k N = 11.33   k N

Resposta

R A x = 0   N

F B C = F B D = 17   k N

R A z = - 15.67   k N

R A y = 11.33   k N

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