Enunciado

90- O poste está sujeito as duas forças mostradas na figura. Determine os componentes de reação do apoio A , admitindo ser uma junta esférica. Calcule também a tensão em cada um dos cabos de sustentação. B C e E D .

Passo 1

Por ser uma junta esférica na base nós sabemos que a junta apresenta reações verticais positivas em todos os eixos da seguinte forma que temos o seguinte diagrama de forças no poste.

Para começar a resolver esse problema vamos vetorizar as forças que conhecemos e as forças nos cabos, começando por F 1 temos:

F 1 = 860 cos ⁡ 45 i - 850 sin ⁡ 45 k = 608.11 i - 608.11 k   [ N ]

Agora vetorizando a força F 2 .

F 2 = - 450 sin ⁡ 20 k - 450 cos ⁡ 20 cos ⁡ 30 i + 450 cos ⁡ 20 sin ⁡ 30 j

O que vale:

F 2 = - 366.21 i + 211.43 j - 153.91 k   [ N ]

Agora precisamos vetorizar as forças nos cabos B C e E D . Para isso vamos descobrir as posições desses pontos:

B = 0,0 , 4 [ m ]

C = 6 , - 4.5,0 [ m ]

D = - 6 , - 3.0 [ m ]

E = 0,0 , 6 [ m ]

Logo os vetores serão:

v B C = C - B = 6 - 0 i + - 4 . 5 - 0 j + 0 - 4 k = 6 i - 4 . 5 j - 4 k

v E D = D - E = - 6 - 0 i + - 3 - 0 j + 0 - 6 k = - 6 i - 3 j - 6 k

O comprimento dos dois vetores serão iguais a:

| v B C | = 6 2 + - 4.5 2 + - 4 2 = 8.5   m

| v E D | = - 6 2 + - 3 2 + - 6 2 = 9   m

Isso faz com que o vetor das forças seja:

F B C = F B C × v B C | v B C | = F B C 6 i - 4.5 j - 4 k 8.5 = F B C 0.70588 i - 0.52941 j - 0.470588 k

F E D = F E D × v E D | v E D | = F E D - 6 i - 3 j - 6 k 9 = F E D - 0.6667 i - 0.3333 j - 0.6667 k

Passo 2

Agora vamos fazer a somatória das forças em todos os eixos:

A somatória das forças em x :

R A x + 0.70588 F B C - 0.6667 F E D - 366.21 + 608.11 = 0

A somatória das forças em j :

R A y - 0.52941 F B C - 0.3333 F E D + 211.43 = 0

E as somatórias das forças em z :

R A z - 0.470588 F B C - 0.6667 F E D - 153.91 - 608.11 = 0

Passo 3

Agora vamos fazer a somatória dos momentos em todos os eixos, sabendo que não há resistência a momento na base do poste.

Somatória dos momentos em x :

4 k × - 0.52941 F B C j + 6 k × - 0.3333 F E D j + 8 k × 0 + 211.43 k = 0

2.11764 F B C + 2 F E D = 1691.44

Agora fazendo a somatória dos momentos em y :

4 k × 0.70588 F B C i + 6 k × - 0.6667 F E D i + 8 k × 608.11 - 366.21 i = 0

2.82352 F B C - 4 F E D = - 1935.2

Multiplicando por 2 a primeira equação temos:

4.23528 F B C + 4 F E D = 3382.88

2.82352 F B C - 4 F E D = - 1935.2

Somando as duas equações temos:

7.0588 F B C = 1447.68 → F B C = 205.09   N

Logo F E D será:

F E D = 1691.44 - 2.11764 F B C 2 = 628.57   N

Passo 4

Agora basta substituir os valores das forças nos cabos para encontrar as reações na base:

R A x + 0.70588 F B C - 0.6667 F E D - 366.21 + 608.11 = 0

R A x = 366.21 - 608.11 + 2 3 628.57 - 0.70588 205.09 = 32.38   N

Avançando:

R A y - 0.52941 F B C - 0.3333 F E D + 211.43 = 0

R A y = - 211.43 + 1 3 628.57 + 0.52941 205.09 = 106.67   N

E finalmente:

R A z - 0.470588 F B C - 0.6667 F E D - 153.91 - 608.11 = 0

R A z = 608.11 + 153.91 + 2 3 628.57 + 0.470588 205.09 = 1277.58   N

Resposta

F B C = 205.09   N

F E D = 628.57   N

R A x = 32.38   N

R A y = 106.67   N

R A z = 1277.58   N

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