Enunciado

99. Expresse cada uma das forças na forma vetorial cartesiana e determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante.

Passo 1

Para representarmos essas forças como vetores, precisaremos achar um vetor unitário que tenha mesma direção e sentido, para cada uma delas e depois multiplicar o valor que a figura do enunciado fornece para as forças, por esses vetores.

Esses vetores podem ser encontrados da seguinte forma:

u → = r → | r → |

Onde r → é o vetor que liga a origem até um certo ponto do nosso interesse ou dois pontos que sejam do nosso interesse, assim encontramos u → com a mesma direção de r → .

Para acharmos a intensidade das benditas forças depois, basta calcular a norma de cada uma.

Aí para realizarmos o último pedido do enunciado, nós somamos as duas forças na forma vetorial encontrando assim a força resultante, nós construirmos um vetor unitário na mesma direção dessa força da seguinte maneira:

u → = F → | F → | = F i F + F j F + F k F

E depois temos que cada componente representa o cosseno do ângulo diretor referente a direção da componente.

Passo 2

Vamos começar então galera.

Primeiro vamos calcular os vetores unitários para as forças, vamos chamar o vetor unitário de u A B → para F 2 e u A C → para F 1 .

Então:

u A B → = r A B → r → A B

= 2 i - 4 j - 6 k 4 + 16 + 36

= 2 i - 4 j - 6 k 5 6

= 2 i - 4 j - 6 k 7 , 4 8

Logo:

u A B → = 0 , 2 67 i - 0 , 5 34 j - 0,8 02 k

Agora para u B C → :

u A C → = r A C → r → A C

= - 2,5 i - 4 j + 6 k 6,25 + 16 + 36

= - 2,5 i - 4 j + 6 k 58,25

= - 2,5 i - 4 j + 6 k 7,63

Então:

u A C → = - 0 , 3 27 i - 0 , 524 j + 0 , 786 k

Agora temos os vetores unitários na direção de cada força.

Passo 3

Agora vamos colocar as forças na forma vetorial e calcular sua intensidade, fazendo o que foi explicado no passo um.

F A B → = F 2 ⋅ u A B →

= 50 ⋅ 0,267 i - 0,534 j - 0,802 k

= 1 3,35 i - 2 6,7 j - 40,1 k

Agora para a outra força:

F A C → = F 1 ⋅ u A C →

= 8 0 ⋅ - 0,327 i - 0,524 j + 0,786 k

= - 2 6,16 i - 41,92 j + 6 2 , 88 k

Passo 4

Agora vamos somar as forças que encontramos para chegarmos na força resultante, então:

F R → = F A B → + F A C →

= 13,35 i - 26,7 j - 40,1 k + - 26,16 i - 41,92 j + 62,88 k

= - 1 2,81 i - 68 , 62 j + 2 2,78 k

E sua intensidade é dada por:

F R → = - 12,81 2 + - 68,62 2 + 22,78 2

= 5391,728

= 73,428   l b

Passo 5

Agora vamos encontrar os ângulos diretores da força resultante. Como foi dito no passo um, se acharmos um vetor unitário na direção de F R → , as componentes desse vetor serão iguais ao cosseno do ângulo entre vetor e a direção da componente.

Vamos achar o vetor unitário.

Como já temos a força na forma vetorial, achar o vetor unitário que tem a mesma direção que ela é simples, basta pegar cada componente da força e dividir pelo seu módulo, obtendo o nosso vetor unitário desejado.

u R → = F R → F → R

= - 12,81 i - 68,62 j + 22,78 k 73,428

= - 0,174 i - 0 , 934 j + 0 , 310 k

Tendo o vetor unitário desejado, basta fazer:

cos ⁡ α = - 0 , 174

⇒ α = 100 °

Onde α é o ângulo entre o vetor e o eixo x .

cos ⁡ β = - 0 , 934

⇒ β = 159,06

Onde β é o ângulo entre o vetor e o eixo y .

E por último:

cos ⁡ γ = 0 , 310

⇒ γ = 71,9 °

Onde γ é o ângulo entre o vetor e o eixo z .

Resposta

F R = 73,428   l b

α = 100 °

β = 159,06 °

γ = 71,9 °

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