Enunciado

Antes da carga P ser aplicada, uma abertura δ 0 = 5 m m existe entre a viga e o apoio em B. Sabendo-se que E = 200   G P a , determinar:

  1. a intensidade P da carga para que a deflexão em A seja zero.
  2. A correspondente reação em B.

Passo 1

Então galera, vamos partir para a parte final do nosso capitulo, e para isso podemos ficar bem de boas, porque aqui vamos usar alguns conceitos bem interessantes, e para isso, podemos ver o seguinte.

Vamos supor que a nossa reação em B se chama R B , e a partir disso, vamos determinar os nossos diagramas de cada uma das cargas com relação ao ponto engastado. Fazendo isso, vamos ter que:

E aqui vai entrar um conceito novo bem importante, os nossos diagramas de momentos em si não podem nos ajudar diretamente, por isso é importante fazermos uma modificação nele, e é bem simples, como a inércia da nossa barra é toda igual pelo comprimento dela, basta dividirmos os diagramas por E I , mas se ela tivesse diferentes inércias em diferentes trechos, é só dividir cada trecho pelo seu E I respectivo, sendo assim o nosso diagrama passa a ser.

E é esse que vamos usar nos nossos cálculos, beleza?

Passo 2

Para determinarmos a deformação em A, precisamos saber que ele precisa deformar todo o trecho de δ 0 = 5 m m , e depois teremos a reação em P começando a acontecer devido a deformação da barra que está sendo impedida, assim, podemos definir que a deformação no ponto A é dada por:

A   d e f l e x ã o   r e l a t i v a   d o   p o n t o   A   c o m   r e l a ç ã o   a o   p o n t o   d e   r e f e r e n c i a  

q u e   n e s s e   c a s o   é   E

é   i g u a l   a   d e f l e x ã o   d o   p o n t o   B   m e n o s   a   d e f l e x ã o   d a   r e f e r ê n c i a .

Assim vamos ter que:

y A / E = y A - y E

E se liga só, se o ponto E é um engaste, quanto é a deformação nele? Haha, olha que maravilha:

y E = 0

Então:

y A / E = y A

E como determinamos y A / E ? É bem tranquilo, lembra os diagramas que determinamos nos itens anteriores? Basta pegarmos a distancia do centroide de cada área até o ponto em que queremos determinar o deslocamento (que nesse caso é o ponto A) e multiplicarmos pelas respectivas áreas e somar, muito tranquilo, né? Assim vamos ter que:

A 1 = 0,38 P E I × 0,38 × 1 2 = 0,0722 P E I

A 2 = - 0,61 R B E I × 0,61 × 1 2 = - 0,18605 R B E I

Determinando a distância do centroide até o termo que se quer a deformação, que nesse caso é o ponto B, obtém-se que:

y A / E = y 1 A 1 + y 2 A 2

y A = y A / E = 0,73 × 0,0722 P E I - 0,66 × - 0,18605 R B E I

y A = 0,052706 P E I - 0,122793 R B E I

Sabemos que pelo enunciado que queremos a deformação em A seja zero, assim, tem-se que:

y A = 0 = 0,052706 P E I - 0,122793 R B E I

Sabe-se que:

E = 200 G P a = 200 × 10 6   K P a

I = 0,025 × 0,0125 3 12 = 4,07 × 10 - 9   m 4

E I = 200 × 10 6 × 4,07 × 10 - 9 = 0,8138   k N m 2

Como vamos determinar primeiro a reação de apoio, vamos obter que:

0 = 0,052706 P 0,8138 - 0,122793 R B 0,8138

0 = 0,065 P - 0,150 R B

Assim, junto com o item A temos a seguinte equação:

0,042 P - 0,093 R B = 0,005 0,065 P - 0,150 R B = 0

Assim, isolando a segunda equação, temos que:

R B = 0,43 P

Substituindo, tem-se que:

0,04 3 P - 0,093 × 0,43 P = 0,005

0,04 3 P - 0,04 P = 0,005

P = 1,67   k N

R B = 0,72   k N

Resposta

P = 1,67   k N

R B = 0,72   k N

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