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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 114

O arco parabólico mostrado na figura foi cortado de uma placa delgada uniforme. Indicando a massa do arco parabólico por m , determine seu momento de inércia com relação a ao eixo B B ' b o eixo D D ' que é perpendicular ao arco parabólico.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O momento de inércia da placa delgada do arco parabólico é equivalente à sua massa:

I m a s s a = ρ t I á r e a

I m a s s a = m A I á r e a

I m a s s a = 2 m π a b I á r e a

Passo 2

O momento de inércia de massa de B B ' é:

I B B ' ,   á r e a = π 8 a b 3 - π 2 a b 4 b 3 π 2

I B B ' ,   á r e a = 0 , 302635 a b 3

I B B ' ,   m a s s a = 2 m π a b 0,302635 a b 3

I B B ' ,   m a s s a = 0,19266 m b 2

Passo 3

O momento de inércia de massa de A A ' é:

I   A A ' ,   á r e a = 1 5 a 3 b

I   A A ' ,   á r e a = I 11 ' ,   á r e a + A 3 4 a 2

I 22 ' ,   á r e a = I 11 ' ,   á r e a + A 1 4 a 2

Logo:

I 22 ' ,   á r e a = I   A A ' ,   á r e a + A 1 4 a 2 - 3 4 a 2

I 22 ' ,   á r e a = 1 5 a 3 b + 1 3 a b 1 4 a 2 - 3 4 a 2

I 22 ' ,   á r e a = 1 30 a 3 b

Então:

I 22 ' ,   m a s s a = 3 m a b 1 30 a 3 b

I 22 ' ,   m a s s a = 1 10 m a 2

Passo 4

Finalmente, temos que:

I D D ' ,   m a s s a = I B B ' ,   m a s s a + I 22 ' ,   m a s s a

I D D ' ,   m a s s a = 1 7 m b 2 + 1 10 m a 2

I D D ' ,   m a s s a = 1 70 m 7 a 2 + 10 b 2

Resposta

a ) I B B ' ,   m a s s a = 0,19266 m b 2

b ) I D D ' ,   m a s s a = 1 70 m 7 a 2 + 10 b 2

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