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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 122

Determine por integração direta o momento de inércia em relação ao eixo x do corpo tetraédrico mostrado na figura, considerando qu ele tem massa específica uniforme e massa m .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A primeira coisa a se fazer é representar as retas x e z em função de y . Temos:

x = a h y + a

E:

z = b h y + b

Por definição também vamos precisar do diferencial de massa:

d m = ρ d V

d m = ρ A d x

d m = ρ x z d x

d m = ρ a h y + a b h y + b d y

Integrando, teremos:

m = ∫ 0 b ρ a h y + a b h y + b d y

m = 1 6 ρ a b h

Passo 2

Como a seção transversal do componente é triangular, podemos utilizar as equações de inércia do triângulo:

I = 1 36 x z 3

I = 1 36 a b 3 1 + y h 4

De forma diferencial, temos:

d I = ρ t I

d I = ρ d y 1 3 a b 3 1 + y h 4

Passo 3

Para o eixo x , vamos usar o teorema dos eixos paralelos:

d I x = d I + y 2 + 1 3 z 2 d m

Substituindo d m e z na equação, temos:

d I x = 1 12 ρ a b 3 1 + y h 4 d y + 1 2 ρ a b y 2 + 2 y 3 h + y 4 h 2 d y

Substituindo:

ρ = 6 m a b h

Temos:

d I x = 1 2 m b 2 h 1 + y h 4 d y + 3 m h y 2 + 2 y 3 h + y 4 h 2 d y

Intergando, teremos:

I x = 1 10 m b 2 + h 2

Resposta

I x = 1 10 m b 2 + h 2

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