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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 87

Para a área indicada, determine a orientação dos eixos principais na origem e os valores correspondentes dos momentos de inércia.

Área do Prob. 9.73.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Analisando o Problema 9.73 para alcançar os seguintes valores correspondentes dos momentos de inércia e produto de inércia para com os novos eixo centroidais obtidos por rotações dos eixo x e y , logo, teremos que:

I - x y = 337,5 × 10 6   m m 4

Passo 2

Podemos analisar o problema 9.81 para encontrar:

I - x = 126,5625 π × 10 6   m m 4

I - y = 253,125 π × 10 6   m m 4

Passo 3

Agora podemos encontrar θ m a partir de:

tan ⁡ 2 θ m = 2 I - x y I - x - I - y

tan ⁡ 2 θ m = 2 337,5 × 10 6 126,5625 π × 10 6 - 253,125 π × 10 6

tan ⁡ 2 θ m = 1,69765

2 θ m = 59,5 °

Logo:

θ m = 29,7 °

E:

θ m = 119,7 °

Passo 4

Portanto, os momentos principais de inércia serão:

I - m á x , m í n = I - x + I - y 2 ± I - x - I - y 2 2 + I - x y 2

I - m á x , m í n = 126,5625 π + 253,125 π 2 ± 126,5625 π - 253,125 π 2 2 + 337,5 2 × 10 6

Resolvendo, temos que:

I - m á x = 154025,6 × 10 6   m m 4

I - m í n = - 152832,7 × 10 6   m m 4

Por inspeção, o eixo a corresponde ao momento de inércia mínimo e o eixo b corresponde ao momento de inércia máximo.

Resposta

I - m á x = 154025,6 × 10 6   m m 4

θ m = 119,7 °

I - m í n = - 152832,7 × 10 6   m m 4

θ m = 29,7 °

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