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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 86

Para a área indicada, determine a orientação dos eixos principais na origem e os valores correspondentes dos momentos de inércia.

Área do Prob. 9.72.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Analisando o Problema 9.7 2 para alcançar os seguintes valores correspondentes dos momentos de inércia e produto de inércia para com os novos eixos centroidais obtidos por rotações dos eixos x e y , logo, teremos que:

I - x y = - 21,6 × 10 6   m m 4

Passo 2

Podemos analisar o problema 9 . 80 para encontrar:

I - x = 68,96 × 10 6   m m 4

I - y = 132,48 × 10 6   m m 4

Passo 3

Agora podemos encontrar θ m a partir de:

tan ⁡ 2 θ m = 2 I - x y I - x - I - y

tan ⁡ 2 θ m = 2 - 21,6 × 10 6 68,96 × 10 6 - 132,48 × 10 6

tan ⁡ 2 θ m = - 0,6801

2 θ m = - 34,220 °   e   145,780 °

Logo:

θ m = - 17,11 °

E:

θ m = 72,9 °

Passo 4

Portanto, os momentos principais de inércia serão:

I - m á x , m í n = I - x + I - y 2 ± I - x - I - y 2 2 + I - x y 2

I - m á x , m í n = 68,96 + 132,48 2 ± 68,96 - 132,48 2 2 + - 21,6 2 × 10 6

Resolvendo, temos que:

I - m á x = 139,1 × 10 6   m m 4

I - m í n = 62,3 × 10 6   m m 4

Por inspeção, o eixo a corresponde ao momento de inércia mínimo e o eixo b corresponde ao momento de inércia máximo.

Resposta

I - m á x = 139,1 × 10 6   m m 4

θ m = 72,9 °

I - m í n = 62,3 × 10 6   m m 4

θ m = - 17,11 °

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