Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 82

Determine os momentos de inércia e o produto de inércia da superfície do Problema 9.7 5 em relação a novos eixos centroidais obtidos por rotação dos eixos x e y de 45 ° no sentido horário.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos que o momento de inércia em relação a x e y são dados por:

I x = 252757   m m 4

I y = 543061   m m 4

O produto de inércia, de acordo com o exercício 9 . 75 é dado por:

I x y = 471040   m m 4

Passo 2

Analisando a soma e a diferença entre os momentos de inércia, temos:

1 2 I x + I y = 1 2 252757 + 543061

1 2 I x + I y = 1002773   m m 4

E:

1 2 I x - I y = 1 2 252757 - 543061

1 2 I x - I y = - 750016   m m 4

Passo 3

De posse dos resultados anteriores podemos encontrar os momentos e produtos de inércia dos novos eixos devido a rotação.

I x ' = 1 2 I x + I y + 1 2 I x - I y cos ⁡ 2 θ - I x y sen ⁡ 2 θ

I x ' = 1002773 + - 750016 cos ⁡ 2 θ - 471040 sen ⁡ 2 θ

Temos também que:

I y ' = 1 2 I x + I y - 1 2 I x - I y cos ⁡ 2 θ + I x y sen ⁡ 2 θ

I y ' = 1002773 - - 750016 cos ⁡ 2 θ + 471040 sen ⁡ 2 θ

E:

I x ' y ' = 1 2 I x - I y sen ⁡ 2 θ + I x y cos ⁡ 2 θ

I x ' y ' = - 750016 sen ⁡ 2 θ + 471040 cos ⁡ 2 θ

Passo 4

Agora que temos as equações, é só aplicar nos ângulos desejados. Temos que θ = - 45 ° :

I x ' = 1002773 + - 750016 cos ⁡ - 90 ° - 471040 sen ⁡ - 90 °

I x ' = 1,474 × 10 6   m m 4

I y ' = 1002773 - - 750016 cos ⁡ - 90 ° + 471040 sen ⁡ - 90 °

I y ' = 0,532 × 10 6   m m 4

I x ' y ' = - 750016 sen ⁡ - 90 ° + 471040 cos ⁡ - 90 °

I x ' y ' = 0,75 × 10 6   m m 4

Resposta

a ) I x ' = 1,474 × 10 6   m m 4

I y ' = 0,532 × 10 6   m m 4

I x ' y ' = 0,75 × 10 6   m m 4

Ver Outros Exercícios desse livro