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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 171

Para a armação de arame do problema indicado, determine o momento de inércia de massa da armação em relação ao eixo que passa pela origem caracterizado pelo vetor unitário λ = ( - 3 i - 6 j + 2 k ) / 7 . Problema 9.147.

Passo 1

Antes vamos separar cada componente, de tal modo que:

Passo 2

Agora, que separamos cada parte, vamos computar a massa de cada componente. Dessa maneira,

m = ρ S T V = γ S T g A L

Então,

m 1 = m 2 = 490 l b / f t 3 32.2 f t / s 2 * π 4 1 8 i n 2 * π * 18   i n * 1 f t 12 i n 3

m 1 = m 2 = 6.112 * 10 - 3 l b * s 2 / f t

m 3 = m 4 = 490 l b / f t 3 32.2 f t / s 2 * π 4 1 8 i n 2 * 18   i n * 1 f t 12 i n 3  

m 3 = m 4 = 1.9453   l b * s 2 / f t

Passo 3

Certo! Agora observe que os produtos de inércia centrais I x ' y ' , I y ' z ' e I z ' x ' são zeros, por causa da simetria. Como também

x - 3 =   x - 4 = 0

y - 1 = 0

z - 1 =   z - 2 = 0

Então os produtos de inércia são:

Produto de inércia xy

I x y = ∑ I x ' y ' + m x - y -

I x y = m 2 x - 2 y - 2

I x y = 6.112 * 10 - 3 l b * s 2 f t - 2 * 18 π i n 18   i n 1 f t 12 i n 2

I x y =   - 875480 * 10 - 3   l b * f t * s 2

Produto de inércia yz

I y z =   ∑ I y ' z ' + m y - z -

I y z =   m 3 y - 3 z - 3 + m 4 y - 4 z - 4

Como,

Então,

I y z = 0

Produto de inércia zx

I z x =   ∑ I z ' x ' + m z - x -

Passo 4

Da solução do Problema 9.147 obtivemos

I x = 39.1721 * 10 - 3 l b * f t * s 2

I y = 36.2542 * 10 - 3 l b * f t * s 2

I z = 30.4184 * 10 - 3 l b * f t * s 2

Passo 5

Agora com os momentos de inércia dos eixos e os produtos de inércia calculados, só basta substituir na equação abaixo que teremos nossa resposta

I O L = I x λ x 2 + I y λ y 2 + I z λ z 2 - 2 I x y λ x λ y - 2 I y z λ y z - 2 I z x λ z λ x

A questão nos oferece

λ = ( - 3 i - 6 j + 2 k ) / 7

Portanto

I O L = 39.1721 - 3 7 2 + 36.2542 - 6 7 2 + 30.4184 2 7 2 - 2 - 8.75480 - 3 7 - 6 7 * 10 - 3   l b * f t * s 2

I O L = 0.0427   l b * f t * s 2

Resposta

I O L = 0.0427   l b * f t * s 2

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