Enunciado

A armação mostrada na figura é formada por um arame de aço de 3 mm de diâmetro. Sabendo que a massa específica do aço é 7.850 kg/m³, determine o momento de inércia da armação em relação a cada um dos eixos coordenados.

Passo 1

Para podermos encontrar o momento de inércia da armação, faz-se necessário saber a massa de cada componente. Note que, a questão nos oferece a massa específica, assim podemos achar a massa em cada parte.

Para facilitar, vamos separar a figura em 4 partes:

1: Semicírculo da parte de baixo

2: Semicírculo da parte de cima

3: Quadrado esquerdo

4: Quadrado direito.

Passo 2

Pronto separamos a figura, agora vamos calcular a massa com as dimensões dadas. Note que:

m 1 = m 2

m 3 = m 4

E sabendo que:

m = p V = p * A * L

As dimensões são as mesmas, portanto:

m 1 = m 2 = 785 0 * π r 2 * 2 π r

m 1 = m 2 = 7850 * π 3 * 10 - 3 2 2 * 2 π 450 * 10 - 3 2

m 1 = m 2 = 78.4 * 10 - 3 k g

Do mesmo modo,

m 3 = m 4 = 7850 * π r 2 * L  

m 3 = m 4 = 7850 * π 3 * 10 - 3 2 2 * 450 * 10 - 3

m 3 = m 4 = 24 * 10 - 3 k g  

Passo 3

Com as massas de cada elemento encontrado, vamos utilizar o teorema dos eixos paralelos para podermos achar o momento de inercia.

Em relação ao eixo x, note que:

I x =   I x 1 + I x 2 + I x 3 + I x 4

E que, como é em relação ao eixo x, então:

I x 1 = I x 2

E sabendo que, em um quadrado:

I = 1 1 2 m L  

Em um semicírculo:

I = 1 2 m r 2

Substituindo, teremos:

I x 1 = 1 2 * 78.4 * 10 - 3 * 450 * 10 - 3 2 = 7.938 * 10 - 3   k g * m 2

Obs.: Vamos utilizar o teorema do eixo paralelo no caso dois, ou seja, precisamos somar com a distância de um eixo para o outro, logo:

I x 2 = 1 2 * 78.4 * 10 - 3 * 450 * 10 - 3 2 + 78.4 * 10 - 3 * 450 * 10 - 3 2 = 23.814 * 10 - 3   k g * m 2

I x 3 = I x 4 = 1 12 * 24 * 10 - 3 * 450 * 10 - 3 2   + 24 * 10 - 3 * 225 * 10 - 3 2 + 450 * 10 - 3 2 =   6.48 * 10 - 3   k g * m 2

Assim,

I x =   I x 1 + I x 2 + I x 3 + I x 4 = 44.712 * 10 - 3   k g * m 2

Passo 4

Para o eixo y, note que:

I y 1 = I y 2

I y 3 = I y 4

Assim,

I y 1 = I y 2 = 78.4 * 10 - 3 * 450 * 10 - 3 2 = 15.876 * 10 - 3   k g * m 2

I y 3 = I y 4 = 0 + 24 * 10 - 3 * 450 * 10 - 3 2 = 4.86 * 10 - 3   k g * m 2

I y =   I y 1 + I y 2 + I y 3 + I y 4 = 41.472 * 10 - 3 k g * m 2

Passo 5

Para o eixo z, temos que:

I z 3 = I z 4

Assim,

I z 1 = 1 2 * 78.4 * 10 - 3 * 450 * 10 - 3 2 = 15.876 * 10 - 3   k g * m 2

I z 2 = 78.4 * 10 - 3 * 1 2 - 4 π 2 * 450 * 10 - 3 2 + 78.4 * 10 - 3 2 * 450 * 10 - 3 π 2 + 450 * 10 - 3 2 =   23.814 * 10 - 3   k g * m 2

I z 3 = I z 4 = 1 3 * 24 * 10 - 3 * 450 * 10 - 3 2 = 1.62 * 10 - 3 k g * m 2

I z = 42.93 * 10 - 3 k g * m 2

Resposta

I x = 44.712 * 10 - 3   k g * m 2

I y =   41.472 * 10 - 3 k g * m 2

I z = 42.93 * 10 - 3 k g * m 2

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