Enunciado

Um automóvel, com massa de 1.000   k g , passa por uma saliência na estrada cuja forma é mostrada na Figura 4.42. A velocidade do automóvel é 50   k m / h . Se o período natural de vibração não amortecida no sentido vertical for 1,0   s , determine a resposta do carro considerando-se que ele seja um sistema não amortecido com um grau de liberdade que vibra no sentido vertical.

Passo 1

Velocidade do automóvel = 50   k m / h r

Frequência de excitação = 50 × 1000 3600 1 0.5 = 27.7778   H z

Frequência natural = f n = 1.0   H z ⇒ ω n = 2 π rad/sec

t 0 = 0.5 × 3600 50 × 1000 = 0.036 s e c

y ( t ) = 0.2 t t 0         ; 0 ≤ t ≤ t % / 2 - 0.2 t t 0 + 0.2 ;         t 0 2 ≤ t ⩽ t 0 0         ;         t > t 0 …                                     ( E 1 )

Equação do movimento

m x ¨ + k ( x - y ) = 0  ou  m x ¨ + k x = k y = F ( t ) (E2)

Onde F ( t ) = k y ( t ) (E3)

Solução da eq.2

x ( t ) = 1 m ω n ∫ 0 t   F ( τ ) s i n ⁡ ω n ( t - τ ) d τ (E4)

Passo 2

Para  0 ≤ t ≤ t 0 2  :

x ( t ) = k m ω n ∫ 0 t   0 ⋅ 2 t 0 τ s i n ⁡ ω n ( t - τ ) d τ (E5)

Uma vez que ∫ 0 t   τ s i n ⁡ ω n ( t - τ ) d τ = t ω n - 1 ω n 2 s i n ⁡ ω n t ,

Eq (E5) se torna

x ( t ) = 5.5556 ( t - 0.1592 s i n ⁡ 6.2832 t ) m ; 0 ⩽ t ≤ 0.018 s e c (E6)

Para t 0 2 ≤ t ≤ t 0 :

x ( t ) = k m ω n ∫ 0 t 0 / 2   0.2 τ t 0 s i n ⁡ ω n ( t - τ ) d τ + ∫ t 0 / 2 t   - 0.2 τ t 0 + 0.2 s i n ⁡ ω n ( t - τ ) d τ

Porém 0.2 k m ω n t 0 ⋅ ∫ 0 t 0 / 2   τ ⋅ s i n ⁡ ω n ( t - τ ) d τ = 0.2 k m ω n t 0 s   i   n ⁡ ω n t 1 ω n 2 c o s ⁡ ω n r + τ ω n s i n ⁡ ω n τ 0 t 0 / 2 - c o s ⁡ ω n t 1 ω n 2 s i n ⁡ ω n τ - τ ω n c o s ⁡ ω n τ 0 t 0 / 2 = 5.5556 [ 0.1592 s i n ⁡ 6.2832 ( t - 0.018 ) + 0.0180 c o s ⁡ 6.2832 ( t - 0.018 ) - 0.1592 s i n ⁡ 6.2832 t ] m (E7)

Uma vez que t 0 = 0.036 .

- 0.2 k m ω n t 0 ∫ t 0 / 2 t   τ s i n ⁡ ω n ( t - τ ) d τ = - 0.2 k m ω n t 0 s   i   n ⁡ ω n t 1 ω n 2 c o s ⁡ ω n τ + τ ω n s i n ⁡ ω n τ t 0 / 2 t - c o s ⁡ ω n t ⋅ 1 ω n 2 s i n ⁡ ω n τ - τ ω n c o s ⁡ ω n τ t 0 / 2 t = - 5.5556 [ t - 0.1592 s i n ⁡ 6.2832 ( t - 0.018 ) - 0.0180 c o s ⁡ 6.2832 ( t - 0.018 ) ] m (E8)

0.2 k m ω n ∫ t 0 / 2 t   s i n ⁡ ω n ( t - τ ) d r = 0.2 k m ω n 1 ω n c o s ⁡ ω n ( t - τ ) t 0 / 2 t

= 0.2 k m ω n 2 1 - c o s ⁡ ω n t - t 0 2

= 0.2 [ 1 - c o s ⁡ 6.2832 ( t - 0.018 ) ] m (E9)

Passo 3

Portanto a solução pode ser expressa por

x ( t ) = [ 1.7689 s i n ⁡ 6.2832 ( t - 0.018 ) - 0.8845 s i n ⁡ 6.2832 t - 5.5556 t + 0.2 ] m ; 0.018 ⩽ t ≤ 0.036 s e c (E10)

Para t > t 0 :

x ( t ) = 0 ⋅ 2 k m ω n t 0 ∫ 0 t 0 / 2   τ s i n ⁡ ω n ( t - τ ) d τ - 0.2 k m ω n t 0 ∫ t 0 / 2 t 0   τ s i n ⁡ ω n ( t - τ ) d τ + 0.2 k m ω n ∫ t 0 / 2 t 0   s i n ⁡ ω n ( t - τ ) d τ (E11)

O primeiro termo do lado direito de (E11) é dado por (E7).

Segundo mandato do lado direito de

- 0.2 k m ω n t 0 ∫ t 0 / 2 t 0   τ s i n ⁡ ω n ( t - τ ) d τ = - 0.2 k m ω n t 0 s i n ⁡ ω n t ⋅ 1 ω n 2 c o s ⁡ ω n τ + τ ω n s i n ⁡ ω n τ t 0 / 2 t 0 - c o s ⁡ ω n t ⋅ 1 ω n 2 s i n ⁡ ω n τ - τ ω n c o s ⁡ ω n τ t 0 / 2

= - 5.5556 [ 0.1592 s i n ⁡ 6.2832 ( t - 0.036 ) + 0.0360 c o s ⁡ 6.2832 ( t - 0.036 )

- 0.1592 s i n ⁡ 6.2832 ( t - 0.018 ) - 0.0180 c o s ⁡ 6.2832 ( t - 0.018 ) ] m (E12)

O terceiro termo no lado direito de E11 é

0.2 k m ω n ∫ t 0 / 2 t 0   s i n ⁡ ω n ( t - τ ) d τ = 0.2 k m ω n 1 ω n c o s ⁡ ω n ( t - τ ) t 0 / 2 t 0

= 0.2 x m ω n 2 c o s ⁡ ω n t - t 0 - c o s ⁡ ω n t - t 0 2

= 0.2 [ c o s ⁡ 6.2832 ( t - 0.036 ) - c o s ⁡ 6.2832 ( t - 0.018 ) ] m (E 13)

∴ x ( t ) é dado pela soma de E q s ⋅ E 7 , E 12 e E 13 ,que pode ser simplificada como

x ( t ) = 1.7689 s i n ⁡ 6.2832 ( t - 0.018 ) - 0.8845 s i n ⁡ 6.2832 t - 0.8845 s i n ⁡ 6.2832 ( t - 0.036 ) m ; t > 0.036  sec (E14)

Resposta

t > 0.036  sec

Ver Outros Exercícios desse livro