Enunciado

Um automóvel que trafega por uma rodovia irregular, na forma de uma superfície senoidal, e modelado como um sistema massa-mola, como mostra a Figura 9.34. A superfície senoidal tem um comprimento de onda de 5   m e uma amplitude de Y =   1   m m . Se a massa do automóvel, incluindo os passageiros, for 1500   k g e a rigidez do sistema de suspensão ( k ) for 400   k N / m , determine a faixa de velocidade ( v ) do automóvel na qual os passageiros percebem a vibração. Sugira possíveis métodos para melhorar o projeto de modo que a viagem dos passageiros seja mais confortável.

Passo 1

E aí, galerinha!

Simbora lá, meus queridos!

Bom, rapaziada e moças! Para o sistema de suspensão, temos que...

k = 400   k N / m

m = 1500   k g

Vamos então, calcular a frequência natural desse sistema...

ω n = k m

ω n = 400000   N / m 1500   k g

ω n = 16,3299   r a d / s

Passo 2

Agora, pensa aí! Se v é a velocidade do automóvel em k m / h , então a frequência angular será dada por...

ω = 2 π f

E como para a velocidade de onda, temos que...

v = λ f

f = v λ

Então...

ω = 2 π λ

ω = 2 π v 1000 3600 5

ω = 0,3491 v

Calculando dessa forma, a razão entre essa frequência e a frequência natural...

r = 0,3491 v 16,3299

r = 0,02138 v

Passo 3

Dessa forma, sabendo da amplitude da superfície senoidal...

Y = 1   m m = 10 - 3   m

Se X é o deslocamento de massa, nós temos que...

X Y = 1 1 - r 2

X Y = 1 1 - ( 0,02138 v ) 2

X Y = 1 1 - 0,00045693 v 2

Os passageiros vão perceber a vibração quando o denominador disso aí, der zero. Quando isso, acontece, temos que...

X Y = ∞

E pra isso, o valor de v tem que ser...

1 - 0,00045693 v 2 = 0

0,00045693 v 2 = 1

v = 1 0,00045693

v = 46,7816   k m / h

Essa é a velocidade no qual os passageiros vão perceber a vibração!

Quanto às formas de corrigir isso, podemos citar possíveis medidas! Uma delas, quem sabe é adicionar mais massa ao sistema, o que acaba por aumentar a razão r .

Outra medida possível é introduzir mais amortecimento ao sistema, melhorando a absorção à possíveis choques!

Resposta

v = 46,7816   k m / h

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