Enunciado

Determine a resposta do pêndulo triplo mostrado na Figura 6.10 para l i = 0,5 m ( i = 1,2 , 3 ) e m i = 1   k g ( i = 1,2 , 3 ) quando um momento, na forma de um pulso retangular de magnitude 0,1 N.m e duração 0,1   s , é aplicado ao longo da direção de θ 3 . Considere que o pêndulo está em repouso e m ⁡ t = 0 .

Passo 1

l i = 0.5 m ; m i = 1 k g ( i = 1,2 , 3 ) .   A s s u m e   m 1 = m 2 = m 3 = m = 1

l 1 = l 2 = l 3 = l = 0.5

Da solução do problema 6.37, obtemos

[ m ] = m l 2 3         2         1   2         2         1   1         1         1   = 0.25 3         2         1   2         2         1   1         1         1  

( k ] = m g l 3         0         0   0         2         0   0         0         1   = 4.905 3         0         0   0         2         0   0         0         1  

Da solução do Problema 6,53 , as frequências naturais e formas modais podem ser encontradas como

ω 1 = 0.644798 g l ; ω 2 = 1.514698 g l ; ω 3 = 2.507977 g l

Uma vez que g l = 9.81 0.5 = 4.4294 , obtemos

ω 1 = 2.8561 r a d / s e c ; ω 2 = 6.7092 r a d / s e c ; ω 3 = 11.1088 r a d / s e c

X → ( 1 ) = a 1.0   1.2922   1.6312   ; X → ( 2 ) = b 1.0   0.3527   - 2.3978   ; x → ( 3 ) = c 1.0   - 1.6450   0.7669  

Ortonormalização de formas modais:

X → ( 1 ) T [ m ] x → ( 1 ) = 5.4118 a 2 = 1   o r   a = 0.4299

x → ( 2 ) T [ m ] X → ( 2 ) = 0.9805 b 2 = 1   o r   b = 1.0099

X → ( 3 ) T [ m ] X → → ( 3 ) = 0.3577 c 2 = 1   o r   c = 1.6720

Matriz modal

| X | = X → ( 1 )         X → ( 2 )         X → ( 3 )   = 0.4299         1.0099         1.6720   0.5555         0.3562         - 2.7504   0.7012         - 2.4215         1.2822   (1)

F → ( t ) = 0   0   M t 3 ( t )   (2)

Q → ( t ) = [ X | T F → ( t ) = 0.7012 M t 3 ( t )   - 2.4215 M t 3 ( t )   1.2822 M t 3 ( t )   (3)

Solução de q i ( t ) sem condições iniciais:

q i ( t ) = 1 ω 1 ∫ 0 t   Q i ( τ ) s i n ⁡ ω i ( t - τ ) d τ ; i = 1,2 , 3 (4)

Denotamos M t 3 ( t ) como

M t 3 ( t ) = M 0 u ( t ) - u t - t 0 (5)

Passo 2

Em que M 0 = 0.1   N - m , t 0 = 0.1 s e c e u ( t ) e u t - t 0 são as funções de etapa da unidade:

u ( t ) = { 0         ; t < 0   1 ,         ; t > 0  

u t - t 0 = { 0         ; t < t 0   1         ; t > t 0  

Portanto obtemos

q 1 ( t ) = 1 ω 1 ∫ 0 t   Q 1 ( τ ) s i n ⁡ ω 1 ( t - τ ) d τ

= 1 2.8561 ∫ 0 t   0.7012 ( 0.1 ) { u ( τ ) - u ( τ - 0.1 ) } s i n ⁡ 2.8561 ( t - τ ) d τ

= 0.02455 ∫ 0 t   u ( τ ) s i n ⁡ 2.8561 ( t - τ ) d τ - ∫ 0 t   u ( τ - 0.1 ) s i n ⁡ 2.8561 ( t - τ ) d τ

Note que

∫ 0 t   u ( τ ) s i n ⁡ Ω ( t - τ ) d τ = 1 Ω ( 1 - c o s ⁡ Ω t ) (6)

E ∫ 0 t   u τ - t 0 s i n ⁡ Ω ( t - τ ) d τ = 1 Ω 1 - c o s ⁡ Ω t - t 0 (7)

Podemos derivar

q 1 ( t ) = 0.008596 [ 1 - c o s ⁡ 2.8561 t ] ; 0 < t < 0.1 s e c

= 0.008596 [ c o s ⁡ 2.8561 ( t - 0.1 ) - c o s ⁡ 2.8561 t ] ; t ≥ 0.1 s e c (8)

Similarmente, podemos derivar

q 2 ( t ) = - 0.005379 [ 1 - c o s ⁡ 6.7092 t ] ; 0 < t < 0.1 s e c

= - 0.005378 [ c o s ⁡ 8.7092 ( t - 0.1 ) - c o s ⁡ 6.7092 t ] ; t ≥ 0.1 s e c (9)

q 3 ( t ) = 0.001039 [ 1 - c o s ⁡ 11.1088 t ] ; 0 < t < 0.1 s e c

= 0.001039 [ c o s ⁡ 11.1088 ( t - 0.1 ) - c o s ⁡ 11.1088 t ] : t ≥ 0.1 s e c (10)

Assim, os deslocamentos angulares (físicos) do pêndulo podem ser expressos como:

x → ( t ) = [ X ] q → ( t ) (11)

e m   q u e   [ X ]   é   d a d o   p o r   E q .   ( 1 )   e   q → ( t )   é   d a d o   p e l a   E q s .   ( 8 )   p a r a   ( 10 ) .   P o r t a n t o

x 1 ( t ) = 0.003675 ( 1 - c o s ⁡ 2.8561 t ) - 0.005432 ( 1 - c o s ⁡ 6.7092 t )

+ 0.001737 ( 1 - c o s ⁡ 11.1088 t ) 0 < t < 0.1 s e c

= 0.003695 [ c o s ⁡ 2.8561 ( t - 0.1 ) - c o s ⁡ 2.8561 t ]

- 0.005432 [ c o s ⁡ 6.7092 ( t - 0.1 ) - c o s ⁡ 6.7092 t ]

+ 0.001737 [ c o s ⁡ 11.1088 ( t - 0.1 ) - c o s ⁡ 11.1088 t ] t ≥ 0.1 s e c

x 2 ( t ) = 0.004775 ( 1 - c o s ⁡ 2.8561 t ) - 0.001916 ( 1 - c o s ⁡ 6.7092 t )

- 0.002858 ( 1 - c o s ⁡ 11.1088 t ) 0 < t < 0.1 s e c

= 0.004775 c o s ⁡ 2.8561 ( t - 0.1 ) - c o s ⁡ 2.8561 t  

- 0.001916 [ c o s ⁡ 6.7092 ( t - 0.1 ) - c o s ⁡ 6.7092 t ]

- 0.002858         c o s ⁡ 11.1088 ( t - 0.1 ) - c o s ⁡ 11.1088 t         t ≥ 0.1 s e c  

x 3 ( t ) = 0.006027 ( 1 - c o s ⁡ 2.8561 t ) + 0.013025 ( 1 - c o s ⁡ 6.7092 t )

+ 0.001332 ( 1 - c o s ⁡ 11.1088 t ) 0 < t < 0.1 s e c

= 0.006027 [ c o s ⁡ 2.8561 ( t - 0.1 ) - c o s ⁡ 2.8561 t

+ 0.013025   c o s ⁡ 6.7092 ( t - 0.1 ) - c o s ⁡ 6.7092 t  

+ 0.001332         c o s ⁡ 11.1088 ( t - 0.1 ) - c o s ⁡ 11.1088 t         t ≥ 0.1   s e c    

Resposta

t ≥ 0.1   s e c

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