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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 80

Um modelo simplificado de uma bicicleta com seu ciclista é mostrado na Figura 6.36. Determine o movimento vertical do ciclista quando a bicicleta atinge um trecho da estrada mais elevado, como mostrado na figura.

Passo 1

[ k ] = 150         - 100   - 100         100   10 3 N / m

[ m ] = 40         0   0         80   k g

Frequência natural é dada por (veja eq (3) na solução do problema 5.1)

ω 1,2 2 = k 1 + k 2 2 m 1 + k 2 2 m 2 ± 1 4 k 1 + k 2 m 1 + k 2 m 2 2 - k 1 k 2 m 1 m 2 1 2

= 150 80 + 100 160 ± 1 4 150 40 + 100 80 2 - ( 100 ) ( 50 ) ( 40 ) ( 80 ) 1 2

= 334.9365,4665.1

ω 1 = 18.3013 r a d / s e c ; ω 2 = 88.3015 r a d / s e c

As formas dos modos são definidas pelas Eqs. (4) e (5) na solução do Problema 5.1:

x 2 ( 1 ) x 1 1 ) = k 2 - m 2 ω 1 2 + k 2 = 100 10 3 - ( 80 ) ( 334.9365 ) + ( 100 ) 10 3 = 1.3660

X → ( 1 ) = a 1.0   1.366  

Em que a é uma constante

X 2 ( 2 ) X 1 ( 2 ) = k 2 - m 2 ω 2 2 + k 2 = ( 100 ) 10 3 - ( 8.0 ) ( 4665.1 ) + ( 100 ) 10 3 = - 0.3660

X → ( 2 ) = b 1.0   - 0.366  

Passo 2

Em que b é uma constante

Ortogonormalização dos modos

X → ( 1 ) T [ m ] X → ( 1 ) = a 2 1.0         1.366   40         0   0         80   1.0   1.366   = 189.2765 a 2 = 1

a = 0.07269

X → ( 2 ) T [ m ] X → ( 2 ) = b 2 1.0         - 0.366   40         0   0         80   1.0   - 0.366   = 50.7165 b 2 = 1

b = 0.14042

matrix modal

[ X ] = 0.07269         0.14042   0.09929         - 0.05139  

Devido à elevação de 0,05 m, a mola k1 e, portanto, m1 serão submetidos a compressão adicional de k 1 ( 0.05 ) = 2500   N .

F → ( t ) = 2500   0   N

Equação (6.111)

Q → ( t ) = [ X ] T F → ( t ) = 181.725   351.05  

A solução é dada pela (sem condições iniciais) Eq. (6.114):

q i ( t ) = 1 ω i ∫ 0 t   Q i ( τ ) s i n ⁡ ω i ( t - τ ) d τ ; i = 1,2

Uma vez que ∫ r = 0 t   s i n ⁡ Ω ( t - τ ) d τ = - ∫ N - t - r - t r - t - r = 0   s i n ⁡ Ω τ ' d τ ' = 1 Ω ( 1 - c o s ⁡ Ω t )

Encontramos

q 1 ( t ) = 181.725 18.3013 2 ( 1 - c o s ⁡ 18.3013 t ) = 0.5426 ( 1 - c o s ⁡ 18.3013 t )

q 2 ( t ) = 351.05 68.3015 2 ( 1 - c o s ⁡ 68.3015 t ) = 0.07525 ( 1 - c o s ⁡ 68.3015 t )

Passo 3

Resposta das massas podem ser encontradas a partir de Eq (6.104)

x → ( t ) = [ X ] q → ( t ) = 0.07269         0.14042   0.09929         - 0.05139   0.5426 ( 1 - c o s ⁡ 18.3013 t )   0.07525 ( 1 - c o s ⁡ 68.3015 t )  

= 0.03944 ( 1 - c o s ⁡ 18.30 13 t ) + 0.01057 ( 1 - c o s ⁡ 68.3015 t )   0.05387 ( 1 - c o s ⁡ 18.3013 t - 0.00387 ( 1 - c o s ⁡ 68.3015 t )  

Nota:

Este problema também pode ser resolvido especificando as condições iniciais como

x → ( 0 ) = 0.05   0.05   m ; x → ˙ ( 0 ) = 0   0  

e resolver o problema da vibração livre.

Resposta

x → ( 0 ) = 0.05   0.05   m ; x → ˙ ( 0 ) = 0   0  

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