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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 21.Problemas - Ex. 54

A barra C D de massa m e comprimento L está girando com uma taxa angular constante de ω 1 em torno do eixo A B , enquanto o eixo E F gira com uma taxa angular constante de ω 2 . Determine as componentes X , Y , Z da reação no mancal axial E e no mancal radial F no instante mostrado. Despreze a massa dos outros membros.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos que Ω = ω , onde ω = ω 1 + ω 2 = ω 2 i - ω 1 j . Logo:

ω x = ω 2

ω y = - ω 1

ω z = 0

A aceleração angular ω ˙ com relação ao eixo x y z pode ser obtida considerando um novo eixo x ' y ' z ' que tem uma velocidade angular de Ω ' = ω 2 = ω 2 i . Portanto:

ω ˙ = ω ˙ x ' y ' z ' + Ω ' × ω

Podemos dividir da seguinte forma:

ω ˙ = ω ˙ 1 x ' y ' z ' + ω ˙ 2 x ' y ' z ' + Ω ' × ω 1 + Ω ' × ω 2

ω ˙ = 0 + 0 + ω 2 i × - ω 1 j + 0

ω ˙ = - ω 1 ω 2 k

As componentes são dadas por:

ω ˙ x = ω ˙ y = 0

ω ˙ z = - ω 1 ω 2

Os momentos de inércia são dados por:

I x = 0

I y = I z = 1 12 m L 2  

Agora temos todos os dados necessários para calcular as componentes do momento. Elas são dadas por:

∑ M x = I x ω ˙ x - I y - I z ω y ω z

0 = 0

∑ M y = I y ω ˙ y - I z - I x ω x ω z

E z a - F z a = 0 - 0

∑ M z = I z ω ˙ z - I x - I y ω x ω y

F y a - E y a = 1 12 m L 2 - ω 1 ω 2 - 0 - 1 12 m L 2 - ω 1 ω 2

F y - E y = m L 2 ω 1 ω 2 6 a

Considerando que o centro de massa não se mova, temos que a G = 0 , logo:

∑ F x = m a G x

E x = 0

∑ F y = m a G y

F y + E y = 0

∑ F z = m a G z

F z + E z - m g = 0

Relacionando as equações, temos:

F y = - m L 2 ω 1 ω 2 12 a

E y = m L 2 ω 1 ω 2 12 a

E z = F z = m g 2

Resposta

E x = 0

F y = - m L 2 ω 1 ω 2 12 a

E y = m L 2 ω 1 ω 2 12 a

E z = F z = m g 2

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