Enunciado

Uma barra rígida uniforme de massa m está presa à parede de um trailer por uma mola de rigidez k (Figura 5.52). O trailer tem uma massa de 5 m , está ligado a uma mola de rigidez 2 k e move-se sobre uma superfície sem atrito. Derive as condições necessárias para a estabilidade do sistema.

Passo 1

Diagrama de corpo livre da barra

Diagrama de corpo livre do trailer

Equação do movimento da barra

m x ¨ - l 2 θ ¨ = k θ l + F (1)

J 0 θ ¨ - m x ¨ - l 2 θ ¨ l 2 = - k θ l ( l ) + m g l 2 s i n ⁡ θ (2)

Equação do movimento do trailer

5 m x ¨ = - F - 2 k x   o r   F = - 2 k x - 5 m x ¨ (3)

Equações 1 e 2 podem ser reescritas como

m x ¨ - l 2 θ ¨ - k θ l + 2 k x + 5 m x ¨ = 0 (5)

J 0 θ ¨ - m l 2 x ¨ - l 2 θ ¨ + k θ l 2 - m g l θ 2 = 0 (6)

Em que J 0 = 1 3 m l 2 (7)

Equações 5 e 6 podem ser expressas na forma de matriz

6 m         - m l 2   - m l 2         7 12 m l 2   x ¨   θ ¨   + 2 k         - k l   0         k l 2 - 1 2 m ⁡ g l   x   θ   = 0   0   (8)

Assumindo a equação na forma

x ( t ) = X e 3 t   a n d   θ ( t ) = Θ e 3 t (9)

Eq(8) pode ser expressa como

s 2 6 m   - m l 2   - m l 2   m l 2 3   + [ 2 k         - k l   0         - ( m g l 2 - k         l 2   ) ] [ x   θ   } e s t = 0   0   (10)

Definindo o determinante da matriz de coeficientes na Eq. (10) igual a zero, obtemos:

6 m s 2 + 2 k - m l s 2 2 + k l   - m l s 2 2 m l 2 s 2 3 - m g l 2 + k l 2   = 0 (11)

que, após a expansão, dá:

7 4 m 2 l 2 s 4 + 37 6 m k l 2 - 3 m 2 g l s 2 + - m k g l + 2 k 2 l 2 = 0 (12)

Uma comparação da Eq. (12) com Eq. (5,43) dá:

a 0 = 7 4 m 2 l 2

a 1 = 0

a 2 = 37 6 m k l 2 - 3 m 2 g l

a 3 = 0

a 4 = 2 k 2 l 2 - m k g l

Passo 2

Condições da estabilidade do sistema

1 - Todos os coeficientes ai devem ser positivos:

a 2 ≥ 0   o u   k ≥ 18 37 m g l

a 4 ≥ 0   o u   k ≥ 1 2 m g l

2 - a 1 a 2 a 3 > a 0 a 3 2 + a 4 a 1 2

Isso não é aplicável, pois ambos os lados da desigualdade são zero.

Então a condição de estabilidade é k ≥ 1 2 m g l

Resposta

k ≥ 1 2 m g l

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