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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 64

Uma turbina de momento de inércia de massa de 4 l b . i n / s 2 está conectada a um gerador elétrico de momento de inércia de massa de 2 lb.inds   2 por um eixo oco de aço com diâmetro interno de 1 in, diâmetro externo de 2 in e comprimento de 15 in (semelhante ao sistema na Figura 5.15 b). Se a turbina for parada repentinamente enquanto estiver desenvolvendo uma potência de 100 cavalos-vapor a uma velocidade de 6.000 r p m , ∘ torque transmitido cairá a zero. Determine os deslocamentos angulares resultantes da turbina e do gerador. Considere o amortecimento desprezível no sistema.

Passo 1

Momento de inércia de massa da turbina 0.5   k g ⋅ m 2 ,, momento de inércia de massa do gerador 0.25   k g ⋅ m 2 2, diâmetro interno do eixo 0,02m, diâmetro externo do eixo 0,04 m, comprimento do eixo 0,4 m , potência da turbina 70 kW.

v e l o c i d a d e   d o   e i x o   = 6000 r p m = 6000 ( 2 π ) 60 = 628.32 r a d / s e c

Rigidez torcional (constante de mola) do eixo de aço oco:

k t = π G d 0 4 - d i 4 32 l = π 83 × 10 9 0.04 4 - 0.02 4 32 ( 0.4 ) = 48.8910 × 10 3 N ⋅ m / s

Frequências naturais do sistema, dadas por uma equação semelhante à Eq. (5,40):

ω 1 = 0 , ω 2 = k t J 1 + J 2 J 1 J 2 1 2 = 48.8910 × 10 3 ( 0.5 + 0.25 ) 0.5 ( 0.25 ) 1 2 = 541.6143 r a d / s e c

A forma do segundo modo é dada por

α = Θ 2 Θ 1 = k t z - J 1 ω 2 2 k t z = 48.8910 × 10 3 - 0.5 ( 541.6143 ) 2 48.8910 × 10 3

α = - 2.0 (E1)

Torque transmitido antes de a turbina ser parada (T):

T = 700 × 10 3 628.32 = 111.4 N ⋅ m

Passo 2

Tendo em vista que ω1 = 0 corresponde aos mesmos movimentos angulares dos dois momentos de inércia de massa, temos deslocamentos angulares constantes e velocidades angulares constantes de modo que a vibração livre pode ser expressa como:

θ 1 = c 1 + c 2 t + c 3 c o s ⁡ ω 2 t + c 4 s i n ⁡ ω 2 t

θ 2 = c 1 + c 2 t + c 3 α c o s ⁡ ω 2 t + c 4 α s i n ⁡ ω 2 t

Em que c 1 , c 2 , c 3   e   c 4 são determinadas a partir das condições iniciais

O deslocamento angular inicial total entre a turbina e o gerador é dado por

ϕ 0 = T k t = 111.4 48.8910 × 10 3 = 0.00228 r a d = Θ 1 - Θ 2 (E2)

Os deslocamentos angulares iniciais no instante em que a turbina é parada repentinamente podem ser encontrados resolvendo as Eqs. (E1) e (E2)

Θ 2 = - 2 Θ 1

3 Θ 1 = 0.00228   o u   Θ 1 = 0.00076 r a d

As velocidades angulares iniciais (velocidades) no instante em que a turbina é parada são dadas por

Θ ^ 1 = Θ 2 = 628.32 r a d / s e c

Usando as condições iniciais

θ 1 ( t = 0 ) = Θ 1 = 0.00076 ,                   θ 2 ( t = 0 ) = Θ 2 = - 0.00152

θ 1 ( t = 0 ) = Θ 1 = 628.32 r a d / s e c   ,             θ 2 ( t = 0 ) = Θ 2 = 628.32 r a d / s e c

As constantes c 1 , c 2 , c 3   e   c 4 podem ser determinadas

Resposta

θ 1 ( t = 0 ) = Θ 1 = 0.00076 ,                   θ 2 ( t = 0 ) = Θ 2 = - 0.00152

θ 1 ( t = 0 ) = Θ 1 = 628.32 r a d / s e c   ,             θ 2 ( t = 0 ) = Θ 2 = 628.32 r a d / s e c

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