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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 26

Usando os resultados do Exemplo 5.1, averigue se as formas modais satisfazem as seguintes relações, conhecidas como relações de ortogonalidade:

X → ( 1 ) T X → ( 2 ) = 0 , X → ( 1 ) T [ m ] X → ( 2 ) = 0 , X → ( 1 ) T [ m ] X → ( 1 ) = c 1 =  constante

X → ( 2 ) T [ m ] X → ( 2 ) = c 2 =  constante

X → ( 1 ) T [ k ] X → ( 1 ) = c 1 ω 1 2 , X → ( 2 ) r [ k ] X → ( 2 ) = c 2 ω 2 2

Passo 1

Saaalve rapaziada, tranquilo?! Vamos lá resolver mais uma questão juntos!

Resultado do exemplo 5.1

x → ( 1 ) = 1 1 x 1 ( 1 ) , x → ( 2 ) = 1 - 1 x 1 ( 2 ) , ω 1 2 = k m , ω 2 2 = 3 k m

[ m ] = m 1         0 0         1 , [ k ] = k 2         - 1 - 1         2

x → ( 1 ) ⊤ x → ( 2 ) = { 1 , } 1 - 1 x 1 ( 1 ) × 1 ( 2 ) = 0

x → ( 1 ) T [ m ] x → ( 2 ) = x 1 ( 1 ) x 1 ( 2 ) m 1         1 1         0 0         1 1 - 1

= m x 1 ( 1 ) x 1 ( 2 ) { 1,1 } 1 - 1 = 0

x → ( 1 ) ⊤ [ m ] x → ( 1 ) = m x 1 ( 1 ) 2 1         1 1         0 0         1 1 1

= 2 m x 1 1 2 = c 1 = c o n s t a n t e

x → 1 ( 1 ) ⊤ [ k ] x → ( 1 ) = k x 1 ( 1 ) 2 { 1,1 } 2 - 1 - 1 2 1 1

= k x 1 ( 1 ) 2 { 1,1 } 1 1 = 2 k x 1 ( 1 ) 2 = 2 k c 1 2 m

= c 1 k m = c 1 w 1 2

x → ( 2 ) T [ m ] x → ( 2 ) = m x 1 ( 2 ) 2 1         - 1 1         0 0         1 1 - 1

= 2 m x 1 ( 2 ) 2 = c 2 = c o n s t a n t e

x → ( 2 ) τ [ k ] x → ( 2 ) = k x 1 ( 2 ) 2 { 1 , - 1 } 2 - 1 - 1 2 1 - 1

= k x 1 ( 2 ) 2 { 1 - 1 } 3 - 3 = 6 k x 1 ( 2 ) 2

= 6 k c 2 2 m = c 2 3 k m = c 2 ω 2 2

E foi isso, agora vamos pra próxima 😊

Resposta

c 2 ω 2 2

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