27. A barra de sustentação é usada para levantar um recipiente com massa de 500   k g . Determine a força em cada um dos cabos A B e A C em função de θ . Se a força máxima em cada cabo for de 5   k N , determine o menor comprimento do cabo A B e do A C que pode ser usado para o levantamento. O centro de gravidade do recipiente está localizado em G .

Passo 1

Para encontrar a primeira parte do enunciado, basta assumirmos que o sistema está em equilíbrio, logo temos que:

∑ F x = 0

∑ F y = 0

Então só temos que abrir essas equações para achar a dependência das forças em relação a θ .

Tendo feito isso, teremos uma coisa mais o menos assim, um F ( θ ) se assumirmos que essa função é igual a 5 k N , que a informação que o enunciado fornece, iremos encontrar um θ , com esse valor usamos uma trigonometria básica para achar o comprimento das cordas, da seguinte forma:

cos ⁡ θ = 1,5 l

⇒ l = 1,5 cos ⁡ θ

Onde l é comprimento que queremos achar.

Vamos parti para as contas então.

Passo 2

Abrindo as equações referente ao equilíbrio do sistema temos:

∑ F x = 0

F A B cos ⁡ θ - F A C cos ⁡ θ = 0

⇒ F A B cos ⁡ θ = F A C cos ⁡ θ

⇒ F A B = F A C

Logo as duas forças são iguais, vamos chamá-las de F para facilitar nossa vida.

∑ F y = 0

F sin ⁡ θ + F sin ⁡ θ - 500 9,8 = 0

⇒ 2 F sin ⁡ θ = 4900

⇒ F = 2450 csc ⁡ θ

Passo 3

Agora considerando que a força exercida pelas cordas seja 5 k N , vamos achar o θ , e para isso basta analisar um lado já que a força é igual nos dois.

F = 5000 = 2450 csc ⁡ θ

⇒ csc ⁡ θ = 2,04

⇒ 1 sin ⁡ θ = 2,04

⇒ sin ⁡ θ = 1 2,04

⇒ θ = 29,35 °

Passo 4

Agora que temos o θ , basta usar a formulazinha que foi construída no passo 1 , para achar o tamanho do cabo.

l = 1,5 cos ⁡ θ

= 1,5 cos ⁡ 29,35 °

= 1,72   m

Resposta

F = 2450 csc ⁡ θ

l = 1,72   m

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