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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 22.Problemas - Ex. 54

54. A barra uniforme tem uma massa m. Se ela é submetida a uma força periódica de F = F 0   s e n   ω t , determine a amplitude de vibração de estado constante.

Passo 1

Aplicando a equação do somatório do momento de inércia vem:

∑ M A = I A α

F O sin ⁡ ω t cos ⁡ θ L - m g sin ⁡ θ L 2 - 2 K L 2 θ cos ⁡ θ L 2 = 1 3 m L 2 θ

Para um ângulo pequeno θ podemos adotar a seguinte aproximação sin ⁡ θ = θ   e cos ⁡ θ = 1 . Assim, a equação se torna em:

θ ¨ + 3 2 g L + k m θ = 3 F o m L sin ⁡ ω t

Passo 2

A solução particular da equação diferencial acima assume a seguinte cara:

θ P = C sin ⁡ ω t

Derivando com relação ao tempo a equação acima, vem:

θ P ¨ = - C ω 2 sin ⁡ ω t

Substituindo essas duas equações na equação principal:

- C ω 2 sin ⁡ ω t + 3 2 g L + k m C sin ⁡ ω t = 3 F o m L sin ⁡ ω t

Passo 3

Isolando C da equação acima, obtemos:

C = 3 F 0 3 2 m g + L K - m L ω 2

Resposta

C = 3 F 0 3 2 m g + L K - m L ω 2

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