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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 21.Problemas - Ex. 80

A bola de futebol americano tem uma massa de 450 g e raios de giração em relação a seu eixo de simetria (eixo z) e eixos transversais (eixo x ou y) de k z = 30   m m e k x = k y = 50   m m , respectivamente. Se a bola tem uma quantidade de movimento angular H G = 0,02   k g . m / s 2 , determine sua precessão ϕ ˙ e rotação ψ ˙ . Além disso, determine o ângulo β que o vetor velocidade angular faz com o eixo z.

Passo 1

Com base no esquema fornecido no enunciado, a única força que age sobre a bola é o seu próprio peso, a bola viaja sobre um movimento livre de torque. Sendo assim, podemos calcular os momentos de inércia com relação aos eixos principais:

I z = 0,45 0 , 0 3 2 → I z = 4,05 ( 10 - 4 )   k g . m 2

I = I x = I y = 0,45 0,05 2 → I = 1,125 ( 10 - 3 )   k g . m 2

Passo 2

Agora podemos encontrar a rotação ψ ˙ através da aplicação da equação 21-36, sabendo que θ = 4 5 ° conforme esquema fornecido no enunciado do problema:

ψ ˙ = I - I z I I z H G c o s θ

ψ ˙ = 1,125 10 - 3 - 4,05 10 - 4 1,125 10 - 3 4,05 10 - 4 0,02 c o s 4 5 ° → ψ ˙ = 22 , 3   r a d / s

Agora iremos encontrar a precessão ϕ ˙ :

ϕ ˙ = H G I = 0,02 1,125 10 - 3 → ϕ ˙ = 17,8   r a d / s

Passo 3

Agora iremos encontrar as componentes da velocidade angular na direção y e z:

ω y = H G s e n θ I = 0,02 s e n 45 ° 1,125 10 - 3 → ω y = 12,57   r a d / s

ω z = H G c o s θ I z = 0,02 c o s 45 ° 0,405 10 - 3 → ω z = 34,92   r a d / s

Agora podemos encontrar o valor de β indicado no enunciado:

β = t g - 1 ω y ω z = t g - 1 12,57 34,92

β = 19,8 °

Resposta

ψ ˙ = 22,3   r a d / s

ϕ ˙ = 17,8   r a d / s

β = 19,8 °

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