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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Rao - Vibrações mecânicas- Ed: 4º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 48

Uma bomba centrífuga, com um desbalanceamento me, está apoiada sobre uma fundação rígida de massa m 2 por meio de molas isoladoras de rigidez k , como mostrado na Figura 5.44. Se a rigidez e o amortecimento do solo forem k 2 e c 2 determine os deslocamentos da bomba e da base para os seguintes dados: m g = 0,5 l b , e = 6 i n , m 1 g = 800 l b , k 1 = 2.000 l b / i n , m 2 g = 2.000 l b , k 2 = 1.000 l b / i n , c 2 = 200 l b . [ s / i n e velocidade da bomba = 1.200 r p m

Passo 1

m = 0.2 k g , e = 0.15 m , m 1 = 400 k g , k 1 = 400 k N / m , m 2 = 900 k g , k 2 = 200 k N / m   c 2 = 40 N ⋅ s / m  

Solução

ω = 2 π ( 1200 ) 60 = 125.664 r a d / s e c

F 1 ( t ) = m   e   ω 2 c o s ⁡ ω t = ( 0.2 ) ( 0.15 ) ( 125.664 ) 2 c o s ⁡ ( 125.6 64 t )

= 473.7432 c o s ⁡ ( 125.664 t ) ( N )

F 10 = 473.7432 N , F 20 = 0

Equações do movimento são (substituir k 1 = k 2 , c 1 = c 2 , m 1 = m 2 , F 1 = 0 , k 2 = k 1 , c 2 = 0

m 2 = m 1 , F 2 = F 1 , k 3 = 0 , c 3 = 0 ,   i n   E q . (5.3))

m 2   0   0   m 1   x ˙ 2   x ˙ 1   + c 2   0   0   0   x ˙ 2   x ˙ 1   + k 2 + k 1   - k 1   - k 1   k 1   x 2   x 1   = 0   F 1 ( t )   (E1)

Ou

m 1   0   0   m 2   x ˙ 1   x ^ 2   + 0   0   0   c 2   x ˙ 1   x ˙ 2   + k 1   - k 1   - k 1   k 1 + k 2   x 1   x 2   = F 1 ( t )   0   (E2)

Passo 2

Comparando (E2) com Eq (5.27), encontramos que m 11 = m 1 , m 12 = 0 , m 22 = m 2 , c 11 = 0 ,

c 12 = 0 , c 22 = c 2 , k 11 = k 1 , k 12 = 0 ,   a n d   k 22 = k 1 + k 2

Aplicação da Eq(5.31) leva a

Z 11 ( i ω ) = - ω 2 m 11 + i ω c 11 + k 11 = - m 1 ω 2 + k 1

Z 12 ( i ω ) = - ω 2 m 12 + i ω c 12 + k 12 = - k 1

Z 22 ( i ω ) = - ω 2 m 22 + i ω c 22 + k 22 = - m 2 ω 2 + i ω c 2 + k 1 + k 2

Resposta do sistema pode ser expressa por

X j ( t ) = X j e i ω t = X j c o s ⁡ ω t   ( p a r t e   r e a l )

Com X j dado pela eq(5.35)

X 1 ( i ω ) = Z 22 ( i ω ) ⋅ F 10 - Z 12 ( i ω ) ⋅ F 20 Z 11 ( i ω ) ⋅ Z 22 ( i ω ) - Z 12 2 ( i ω )

= - m 2 ω 2 + i ω c 2 + k 1 + k 2 F 10 - m 1 ω 2 + k 1 - m 2 ω 2 + i ω c 2 + k 1 + k 2 - k 1 2

= - 900 ( 125.664 ) 2 + i ( 125.664 ) ( 40 ) + 600 × 10 3 ( 473.7432 ) { [ - 400 ( 125.664 ) 2 + 400 × 10 3 ] .   ( - 900 ( 125.664 ) 2 + i ( 125.664 ) ( 40 ) + 600 × 10 3 ] - 400 2 × 10 6 }  

= - 8.0230 - i 5.8964 × 10 - 6 × 10 - 5

X 2 ( i ω ) = - Z 12 ( i ω ) F 10 + Z 11 ( i ω ) F 20 Z 11 ( i ω ) Z 22 ( i ω ) - Z 12 2 ( i ω ) = k 1 F 10 Z 11 ( i ω ) Z 22 ( i ω ) - Z 12 2 ( i ω )

= 400 × 10 3 ( 473.7432 ) 8.0539 × 10 13 - i 2.0133 × 10 13

= ( 2.2145 + i 0.5536 ) × 10 - 6

Resposta

= ( 2.2145 + i 0.5536 ) × 10 - 6

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